Encontre a distância do ponto à reta dada (4,1,-2) ; x=1+t, y=3-2 t, z=4-3 t

Passo 1

Então, temos que encontrar a distância do ponto x = 1 + t, y = 3 - 2t, z = 4 - 3t até a reta definida pelas equações paramétricas:
Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre um ponto e uma reta no espaço. Para isso, precisamos identificar um ponto na reta e o vetor diretor da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um ponto Q(1, 3, 4) na reta. Observando as equações paramétricas, quando v = (1, -2, -3) :
O vetor diretor da reta é dado pelos coeficientes de nas equações:

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da distância D = |v times QP||v| de um ponto a uma reta que passa por com vetor diretor :
Onde é o vetor que vai de até .

Passo 4

Calculamos o vetor QP = P - Q = (4-1, 1-3, -2-4) = (3, -2, -6) :

Passo 5

Agora, calculamos o produto vetorial v times QP = i & j & k 1 & -2 & -3 3 & -2 & -6 = i( (-2)(-6) - (-3)(-2) ) - j(1(-6) - (-3)(3)) + k(1(-2) - (-2)(3)) :
= i(12 - 6) - j(-6 - (-9)) + k(-2 - (-6))
= 6i - 3j + 4k
v times QP = (6, -3, 4)

Passo 6

Calculamos o módulo do produto vetorial:
|v times QP| = raiz6^2 + (-3)^2 + 4^2 = raiz36 + 9 + 16 = raiz61

Passo 7

Calculamos o módulo do vetor diretor |v| = raiz1^2 + (-2)^2 + (-3)^2 = raiz1 + 4 + 9 = raiz14 :

Passo 8

Agora, aplicamos a fórmula da distância:
D = raiz61raiz14 = raiz6114 approx 2,086

Resposta

A distância do ponto até a reta é aproximadamente unidades.

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