Determine uma equação vetorial e equações paramétricas para a reta A reta que passa pelos pontos (-8,1,4) e(3,-2,4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação vetorial e as equações paramétricas de uma reta que passa pelos pontos A(-8,1,4) e B(3,-2,4). Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas no espaço. Precisamos identificar o vetor diretor da reta e usar as coordenadas dos pontos para montar as equações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta. O vetor diretor v pode ser encontrado subtraindo as coordenadas de A das coordenadas de B:
v = B - A = (3 - (-8), -2 - 1, 4 - 4) = (11, -3, 0)

Passo 3

Agora que temos o vetor diretor v = (11, -3, 0), podemos escrever a equação vetorial da reta. A equação vetorial de uma reta que passa pelo ponto A(x0, y0, z0) e tem vetor diretor v = (a, b, c) é:
r = A + tv
Onde t é um parâmetro real.

Passo 4

Substituindo os valores que temos:
r = (-8, 1, 4) + t(11, -3, 0)
Isso dá a equação vetorial da reta.

Passo 5

Agora, vamos separar as componentes para obter as equações paramétricas. A equação vetorial r = (-8, 1, 4) + t(11, -3, 0) significa:
x = -8 + 11t
y = 1 - 3t
z = 4 + 0t Rightarrow z = 4

Resposta

A equação vetorial da reta é:
r = (-8, 1, 4) + t(11, -3, 0)
E as equações paramétricas são:
x = -8 + 11t
y = 1 - 3t
z = 4

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