Determine as coordenadas cartesianas dos pontos cujas coordenadas polares são (4,4 pi / 3) e (6,5 pi / 3). Em seguida encontre a distância entre os pontos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui são dois pontos com coordenadas polares e precisamos converter essas coordenadas para o sistema cartesiano. Depois, a gente vai calcular a distância entre esses dois pontos. Para isso, vamos usar as fórmulas de conversão de coordenadas polares para cartesianas e a fórmula da distância entre dois pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas polares (r, theta) para cartesianas (x, y). As fórmulas que usamos são:
x = r cos(theta)
y = r sin(theta)
Onde r é a distância do ponto à origem e theta é o ângulo em relação ao eixo positivo x.

Passo 3

Vamos converter o primeiro ponto, que tem coordenadas polares (4, 4pi3).
Calculando x:
x = 4 cos(4pi3)
Sabemos que cos(4pi3) = -12, então:
x = 4 times (-12) = -2
Calculando y:
y = 4 sin(4pi3)
Sabemos que sin(4pi3) = -raiz32, então:
y = 4 times (-raiz32) = -2raiz3
Portanto, as coordenadas cartesianas do primeiro ponto são (-2, -2raiz3).

Passo 4

Agora, vamos converter o segundo ponto, que tem coordenadas polares (6, 5pi3).
Calculando x:
x = 6 cos(5pi3)
Sabemos que cos(5pi3) = 12, então:
x = 6 times 12 = 3
Calculando y:
y = 6 sin(5pi3)
Sabemos que sin(5pi3) = -raiz32, então:
y = 6 times (-raiz32) = -3raiz3
Portanto, as coordenadas cartesianas do segundo ponto são (3, -3raiz3).

Passo 5

Agora que temos as coordenadas cartesianas dos dois pontos, vamos calcular a distância entre eles. A fórmula para a distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2

Passo 6

Aplicando a fórmula com nossos pontos (-2, -2raiz3) e (3, -3raiz3):
d = raiz(3 - (-2))^2 + (-3raiz3 - (-2raiz3))^2
Simplificando:
d = raiz(5)^2 + (-raiz3)^2 = raiz25 + 3 = raiz28 = 2raiz7

Resposta

A distância entre os dois pontos é 2raiz7 unidades.

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