Determine as equações das elipses abaixo.
a) Os focos são F1=(-2,1) e F2=(2,1) e para cada ponto P na elipse temos dist(P, F1)+dist(P, F2)=7.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos uma elipse com dois focos dados em e . Sabemos que para qualquer ponto na elipse, a soma das distâncias de até os focos é igual a 7.
O conteúdo da matéria envolve a definição e equação das elipses no plano cartesiano. Para resolver, precisamos usar a definição de elipse em termos de seus focos e o comprimento do eixo maior.

Passo 2

Primeiro, identificamos a posição dos focos. Como os focos são e , eles estão alinhados horizontalmente no eixo , com o eixo maior também na horizontal.

Passo 3

Calculamos a distância entre os dois focos para encontrar o valor de 2c = raiz(2 - (-2))^2 + (1 - 1)^2 = raiz4^2 + 0 = 4 , onde é a distância do centro aos focos.
A distância entre e é:
Logo, .

Passo 4

Sabemos que a soma das distâncias do ponto 2a = 7 Rightarrow a = 72 aos focos é , onde é o semi-eixo maior da elipse.
Dado que , temos:

Passo 5

Com os valores de c^2 = a^2 - b^2 Rightarrow b^2 = a^2 - c^2 e b^2 = (72)^2 - 2^2 = 494 - 4 = 494 - 164 = 334 , podemos encontrar , o semi-eixo menor, usando a relação:
Substituindo:

Passo 6

Identificamos o centro da elipse, que é o ponto médio entre os focos.
Centro h = -2 + 22 = 0, k = 1 + 12 = 1 :
Então, o centro está em .

Passo 7

Com os valores de (x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1 , (x - 0)^2(72)^2 + (y - 1)^2334 = 1 e o centro 4x^249 + 4(y - 1)^233 = 1 , escrevemos a equação padrão da elipse com eixo maior horizontal:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da elipse é:
x^2494 + (y - 1)^2334 = 1

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