Determine as equações das elipses abaixo.
a) Os focos são
e
e para cada ponto
na elipse temos
.
a) Os focos são
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: temos uma elipse com dois focos dados em
e
. Sabemos que para qualquer ponto
na elipse, a soma das distâncias de
até os focos é igual a 7.
O conteúdo da matéria envolve a definição e equação das elipses no plano cartesiano. Para resolver, precisamos usar a definição de elipse em termos de seus focos e o comprimento do eixo maior.
Passo 2
Primeiro, identificamos a posição dos focos. Como os focos são
e
, eles estão alinhados horizontalmente no eixo
, com o eixo maior também na horizontal.
Passo 3
Calculamos a distância entre os dois focos para encontrar o valor de
, onde
é a distância do centro aos focos.
A distância entre
e
é:
Logo,
.
Passo 4
Sabemos que a soma das distâncias do ponto
aos focos é
, onde
é o semi-eixo maior da elipse.
Dado que
, temos:
Passo 5
Com os valores de
e
, podemos encontrar
, o semi-eixo menor, usando a relação:
Substituindo:
Passo 6
Identificamos o centro da elipse, que é o ponto médio entre os focos.
Centro
:
Então, o centro está em
.
Passo 7
Com os valores de
,
e o centro
, escrevemos a equação padrão da elipse com eixo maior horizontal:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação da elipse é:
Exercícios relacionados
Determine o vértice da parábola
e represente-a geometricamente.
Determine as coordenadas do centro da elipse
e faça um esboço do seu gráfico.
Determine as equações das elipses abaixo.
b) Os focos são e
e para cada ponto
na elipse temos
.
b) Os focos são
Considerar, no
, as bases
c) Calcular
sabendo que
.