Determine as equações das elipses abaixo.
a) Os focos são e e para cada ponto na elipse temos .

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos uma elipse com dois focos dados em e . Sabemos que para qualquer ponto na elipse, a soma das distâncias de até os focos é igual a 7.
O conteúdo da matéria envolve a definição e equação das elipses no plano cartesiano. Para resolver, precisamos usar a definição de elipse em termos de seus focos e o comprimento do eixo maior.

Passo 2

Primeiro, identificamos a posição dos focos. Como os focos são e , eles estão alinhados horizontalmente no eixo , com o eixo maior também na horizontal.

Passo 3

Calculamos a distância entre os dois focos para encontrar o valor de , onde é a distância do centro aos focos.
A distância entre e é:
Logo, .

Passo 4

Sabemos que a soma das distâncias do ponto aos focos é , onde é o semi-eixo maior da elipse.
Dado que , temos:

Passo 5

Com os valores de e , podemos encontrar , o semi-eixo menor, usando a relação:
Substituindo:

Passo 6

Identificamos o centro da elipse, que é o ponto médio entre os focos.
Centro :
Então, o centro está em .

Passo 7

Com os valores de , e o centro , escrevemos a equação padrão da elipse com eixo maior horizontal:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da elipse é:

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Determine o vértice da parábola e represente-a geometricamente.
Determine as coordenadas do centro da elipse e faça um esboço do seu gráfico.
Determine as equações das elipses abaixo.
b) Os focos são e e para cada ponto na elipse temos .
Considerar, no , as bases
c) Calcular sabendo que .