Determine o vértice da parábola
e represente-a geometricamente.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a equação de uma parábola:
$ x^{2} - 12x + 8y - 20 = 0 $
O conteúdo aqui é Geometria Analítica, especificamente relacionado a parábolas. Para resolver isso, a gente vai precisar completar o quadrado para achar as coordenadas do vértice da parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar a resolução. Vamos isolar os termos em
de um lado:
$ x^{2} - 12x = -8y + 20 $
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos em
. Para isso, pegamos o coeficiente de
, que é -12, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
$ \left(\frac{-12}{2}\right)^{2} = (-6)^{2} = 36 $
Então, adicionamos e subtraímos 36 na equação:
$ x^{2} - 12x + 36 - 36 = -8y + 20 $
Passo 4
Com isso, a parte à esquerda se torna um quadrado perfeito:
$ (x - 6)^{2} - 36 = -8y + 20 $
Agora, vamos levar o -36 para o outro lado:
$ (x - 6)^{2} = -8y + 20 + 36 $
$ (x - 6)^{2} = -8y + 56 $
Passo 5
Vamos isolar
para deixar a equação na forma padrão da parábola:
$ (x - 6)^{2} = -8(y - 7) $
Agora, a equação está na forma:
$ (x - h)^{2} = 4p(y - k) $
Onde
é o vértice da parábola e
determina a abertura.
Passo 6
Comparando as duas equações, vemos que:
Então, o vértice da parábola é
.
Resposta
O vértice da parábola
é
.
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e faça um esboço do seu gráfico.
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e
. Faça um esboço de seu gráfico.
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a) Os focos são e
e para cada ponto
na elipse temos
.
a) Os focos são
Determine as equações das elipses abaixo.
b) Os focos são e
e para cada ponto
na elipse temos
.
b) Os focos são