Determine o vértice da parábola x^2-12 x+8 y-20=0 e represente-a geometricamente.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a equação de uma parábola:
$ x^{2} - 12x + 8y - 20 = 0 $
O conteúdo aqui é Geometria Analítica, especificamente relacionado a parábolas. Para resolver isso, a gente vai precisar completar o quadrado para achar as coordenadas do vértice da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar a resolução. Vamos isolar os termos em x^2 - 12x = -8y + 20 de um lado:
$ x^{2} - 12x = -8y + 20 $

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos em (-122)^2 = (-6)^2 = 36 . Para isso, pegamos o coeficiente de x^2 - 12x + 36 - 36 = -8y + 20 , que é -12, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
$ \left(\frac{-12}{2}\right)^{2} = (-6)^{2} = 36 $
Então, adicionamos e subtraímos 36 na equação:
$ x^{2} - 12x + 36 - 36 = -8y + 20 $

Passo 4

Com isso, a parte à esquerda se torna um quadrado perfeito:
$ (x - 6)^{2} - 36 = -8y + 20 $
Agora, vamos levar o -36 para o outro lado:
$ (x - 6)^{2} = -8y + 20 + 36 $
$ (x - 6)^{2} = -8y + 56 $

Passo 5

Vamos isolar (x - 6)^2 = -8(y - 7) para deixar a equação na forma padrão da parábola:
$ (x - 6)^{2} = -8(y - 7) $
Agora, a equação está na forma:
$ (x - h)^{2} = 4p(y - k) $
Onde (x - h)^2 = 4p(y - k) é o vértice da parábola e determina a abertura.

Passo 6

Comparando as duas equações, vemos que:
Então, o vértice da parábola é .

Resposta

O vértice da parábola é .

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