Determine as coordenadas do centro e a medida do raio da circunferência de equação: y^2 + 8(y - x) + x^2 + 28 = 0 (4, -4) ; 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as coordenadas do centro e o raio de uma circunferência que está definida pela equação . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre como identificar o centro e o raio de uma circunferência a partir de sua equação geral.

Passo 2

Primeiro, precisamos reescrever a equação da circunferência de uma forma que a gente consiga identificar claramente o centro e o raio. A forma geral da equação de uma circunferência é:
onde são as coordenadas do centro e é o raio.
Vamos começar organizando a equação dada:

Passo 3

Vamos expandir os termos dentro do parênteses:
Agora, vamos reorganizar os termos para separar os que envolvem e :

Passo 4

Para colocar a equação na forma padrão da circunferência, precisamos completar o quadrado para os termos de e .
Começando com os termos de :
Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de (-8), que é -4, e elevamos ao quadrado:
Fazemos o mesmo para os termos de :
Metade do coeficiente de (8) é 4, e ao quadrado é:

Passo 5

Agora, adicionamos e subtraímos esses valores na equação para completar os quadrados:
Simplificando:

Passo 6

Agora, isolamos os termos quadráticos:
Comparando com a forma padrão , podemos identificar:
  • Centro
  • Raio

Resposta

O centro da circunferência é e o raio mede .

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