Determine as coordenadas do centro e a medida do raio da circunferência de equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as coordenadas do centro e o raio de uma circunferência que está definida pela equação
. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre como identificar o centro e o raio de uma circunferência a partir de sua equação geral.
Passo 2
Primeiro, precisamos reescrever a equação da circunferência de uma forma que a gente consiga identificar claramente o centro e o raio. A forma geral da equação de uma circunferência é:
onde
são as coordenadas do centro e
é o raio.
Vamos começar organizando a equação dada:
Passo 3
Vamos expandir os termos dentro do parênteses:
Agora, vamos reorganizar os termos para separar os que envolvem
e
:
Passo 4
Para colocar a equação na forma padrão da circunferência, precisamos completar o quadrado para os termos de
e
.
Começando com os termos de
:
Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de
(-8), que é -4, e elevamos ao quadrado:
Fazemos o mesmo para os termos de
:
Metade do coeficiente de
(8) é 4, e ao quadrado é:
Passo 5
Agora, adicionamos e subtraímos esses valores na equação para completar os quadrados:
Simplificando:
Passo 6
Agora, isolamos os termos quadráticos:
Comparando com a forma padrão
, podemos identificar:
- Centro
- Raio
Resposta
O centro da circunferência é
e o raio mede
.