Faça um esboço da superfície dada em coordenadas cilíndricas
pelas equações abaixo:
.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para a gente fazer um esboço da superfície definida em coordenadas cilíndricas pelas equações
. Aqui, estamos trabalhando com geometria no espaço tridimensional usando coordenadas cilíndricas, que são uma forma de descrever pontos usando a distância radial
, o ângulo
e a altura
. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas coordenadas se relacionam e como a equação
define uma superfície no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto no espaço é descrito por
, onde:
-
é a distância do ponto ao eixo , -
é o ângulo em torno do eixo , -
é a altura do ponto acima do plano .
A equação
relaciona
e
. Isso significa que para cada valor de
, o valor de
é o quadrado de
. Vamos ver o que isso significa visualmente.
Passo 3
Vamos analisar alguns pontos para entender a forma da superfície:
- Se
, então . Isso significa que no centro, no ponto , temos a origem. - Se
, então . Em todas as direções ao redor do eixo , quando , . - Se
, então . Mais longe do eixo, aumenta rapidamente.
Vemos que conforme
aumenta,
aumenta com o quadrado de
. Isso sugere que a superfície se abre para cima de forma parabólica.
Passo 4
Para esboçar a superfície, podemos imaginar que é uma paraboloide. Um paraboloide é uma superfície que tem uma forma semelhante a uma parábola girada em torno de um eixo. No nosso caso, como a equação é
, é um paraboloide circular que se abre para cima.
Vamos desenhar alguns círculos para diferentes valores de
:
- Para
, temos apenas o ponto no centro. - Para
, temos um círculo de raio 1. - Para
, um círculo de raio 2. - E assim por diante.
Esses círculos mostram que a superfície é simétrica em todas as direções ao redor do eixo
.
Resposta
A superfície definida por
em coordenadas cilíndricas é um paraboloide circular que se abre para cima. Para esboçá-lo, desenhe círculos de raio
para diferentes valores de
, onde
aumenta com o quadrado de
. A forma resultante é uma curva parabólica girada em torno do eixo
, formando uma superfície simétrica e aberta para cima.