Faça um esboço da superfície dada em coordenadas cilíndricas (r, theta, z) pelas equações abaixo: z=r^2.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para a gente fazer um esboço da superfície definida em coordenadas cilíndricas pelas equações . Aqui, estamos trabalhando com geometria no espaço tridimensional usando coordenadas cilíndricas, que são uma forma de descrever pontos usando a distância radial , o ângulo e a altura . Para resolver isso, vamos precisar entender como essas coordenadas se relacionam e como a equação define uma superfície no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto no espaço é descrito por , onde:
  • é a distância do ponto ao eixo ,
  • é o ângulo em torno do eixo ,
  • é a altura do ponto acima do plano .
A equação relaciona e . Isso significa que para cada valor de , o valor de é o quadrado de . Vamos ver o que isso significa visualmente.

Passo 3

Vamos analisar alguns pontos para entender a forma da superfície:
  • Se , então . Isso significa que no centro, no ponto , temos a origem.
  • Se , então . Em todas as direções ao redor do eixo , quando , .
  • Se , então . Mais longe do eixo, aumenta rapidamente.
Vemos que conforme aumenta, aumenta com o quadrado de . Isso sugere que a superfície se abre para cima de forma parabólica.

Passo 4

Para esboçar a superfície, podemos imaginar que é uma paraboloide. Um paraboloide é uma superfície que tem uma forma semelhante a uma parábola girada em torno de um eixo. No nosso caso, como a equação é , é um paraboloide circular que se abre para cima.
Vamos desenhar alguns círculos para diferentes valores de :
  • Para , temos apenas o ponto no centro.
  • Para , temos um círculo de raio 1.
  • Para , um círculo de raio 2.
  • E assim por diante.
Esses círculos mostram que a superfície é simétrica em todas as direções ao redor do eixo .

Resposta

A superfície definida por em coordenadas cilíndricas é um paraboloide circular que se abre para cima. Para esboçá-lo, desenhe círculos de raio para diferentes valores de , onde aumenta com o quadrado de . A forma resultante é uma curva parabólica girada em torno do eixo , formando uma superfície simétrica e aberta para cima.

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