Faça um esboço da superfície dada em coordenadas cilíndricas
pelas equações abaixo:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender qual é a sua dúvida. Você precisa fazer um esboço da superfície dada pela equação
no sistema de coordenadas cilíndricas
. Para isso, vamos precisar saber como funcionam as coordenadas cilíndricas e como relacionar as variáveis
e
para desenhar a superfície correta.
Passo 2
Vamos relembrar o que são coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é representado por três valores:
-
: a distância do ponto ao eixo (ou seja, a distância no plano ). -
: o ângulo entre a projeção do ponto no plano e o eixo . -
: a altura do ponto em relação ao plano .
Isso é semelhante ao sistema de coordenadas polares no plano
, mas com a adição da coordenada
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a equação
. Essa equação relaciona diretamente a altura
com a distância
do ponto ao eixo
. Ou seja, para cada valor de
, a altura
é igual a essa distância.
Passo 4
Para esboçar a superfície, vamos pensar em diferentes valores de
e ver como
varia:
- Quando
, temos . Isso nos dá o ponto na origem. - Se
, então . O ponto está a uma distância de 1 unidade do eixo e 1 unidade acima do plano . - Para
, , e assim por diante.
Passo 5
Visualizando esses pontos, percebemos que, conforme
aumenta,
também aumenta na mesma proporção. Isso cria uma superfície que sobe de forma constante e simétrica ao redor do eixo
. Essa superfície é conhecida como um cone.
Resposta
A superfície definida pela equação
em coordenadas cilíndricas é um cone que se estende para cima a partir da origem, com seu eixo alinhado ao eixo
. O cone tem uma inclinação constante, onde a altura
sempre é igual à distância
do ponto ao eixo
.