Faça um esboço da superfície dada em coordenadas cilíndricas (r, theta, z) pelas equações abaixo: z=r.

Passo 1

Primeiro, vamos entender qual é a sua dúvida. Você precisa fazer um esboço da superfície dada pela equação no sistema de coordenadas cilíndricas . Para isso, vamos precisar saber como funcionam as coordenadas cilíndricas e como relacionar as variáveis e para desenhar a superfície correta.

Passo 2

Vamos relembrar o que são coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é representado por três valores:
  • : a distância do ponto ao eixo (ou seja, a distância no plano ).
  • : o ângulo entre a projeção do ponto no plano e o eixo .
  • : a altura do ponto em relação ao plano .
Isso é semelhante ao sistema de coordenadas polares no plano , mas com a adição da coordenada .

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação . Essa equação relaciona diretamente a altura com a distância do ponto ao eixo . Ou seja, para cada valor de , a altura é igual a essa distância.

Passo 4

Para esboçar a superfície, vamos pensar em diferentes valores de e ver como varia:
  • Quando , temos . Isso nos dá o ponto na origem.
  • Se , então . O ponto está a uma distância de 1 unidade do eixo e 1 unidade acima do plano .
  • Para , , e assim por diante.

Passo 5

Visualizando esses pontos, percebemos que, conforme aumenta, também aumenta na mesma proporção. Isso cria uma superfície que sobe de forma constante e simétrica ao redor do eixo . Essa superfície é conhecida como um cone.

Resposta

A superfície definida pela equação em coordenadas cilíndricas é um cone que se estende para cima a partir da origem, com seu eixo alinhado ao eixo . O cone tem uma inclinação constante, onde a altura sempre é igual à distância do ponto ao eixo .

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