Determine as coordenadas da matriz A=(cc-1 & 5 0 & 3) em relação à base B= (ll2 & 0 0 & 1),(ll0 & 2 0 & 0),(ll0 & 0 3 & 0),(ll0 & 0 1 & 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Neste exercício, precisamos encontrar as coordenadas da matriz -1 & 5 0 & 3 em relação à base . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre como expressar uma matriz como combinação linear das matrizes que formam a base . Para isso, vamos precisar identificar os coeficientes dessa combinação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar as coordenadas de A = c1 B1 + c2 B2 + c3 B3 + c4 B4 em relação à base . Basicamente, queremos encontrar números tais que:
Onde são as matrizes que compõem a base .

Passo 3

Vamos listar as matrizes que formam a base B1 = 2 & 0 0 & 1 , B2 = 0 & 2 0 & 0 , B3 = 0 & 0 3 & 0 , B4 = 0 & 0 1 & 2 :

Passo 4

Agora, substituímos essas matrizes na equação:
A = c1 2 & 0 0 & 1 + c2 0 & 2 0 & 0 + c3 0 & 0 3 & 0 + c4 0 & 0 1 & 2
Fazendo a soma das matrizes à direita:
A = 2c1 & 2c2 3c3 + c4 & c1 + 2c4

Passo 5

Agora, igualamos essa matriz à matriz -1 & 5 0 & 3 = 2c1 & 2c2 3c3 + c4 & c1 + 2c4 :
2c1 = -1 2c2 = 5 3c3 + c4 = 0 c1 + 2c4 = 3
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiramente, da primeira equação:
2c1 = -1 Rightarrow c1 = -12

Passo 7

Da segunda equação:
2c2 = 5 Rightarrow c2 = 52

Passo 8

Agora, usando o valor de c1 + 2c4 = 3 Rightarrow -12 + 2c4 = 3 na quarta equação:
2c4 = 3 + 12 = 72 Rightarrow c4 = 74
Isolando :

Passo 9

Por fim, usando o valor de 3c3 + c4 = 0 Rightarrow 3c3 = -c4 Rightarrow c3 = -c43 = -712 na terceira equação:

Resposta

As coordenadas da matriz c1 c2 c3 c4 = -dfrac12 dfrac52 -dfrac712 dfrac74 em relação à base são:

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