Determine as coordenadas da matriz em relação à base
Passo 1
Beleza, vamos lá! Neste exercício, precisamos encontrar as coordenadas da matriz em relação à base . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre como expressar uma matriz como combinação linear das matrizes que formam a base . Para isso, vamos precisar identificar os coeficientes dessa combinação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar as coordenadas de em relação à base . Basicamente, queremos encontrar números tais que:
Onde são as matrizes que compõem a base .
Passo 3
Vamos listar as matrizes que formam a base :
Passo 4
Agora, substituímos essas matrizes na equação:
Fazendo a soma das matrizes à direita:
Passo 5
Agora, igualamos essa matriz à matriz :
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiramente, da primeira equação:
2c1 = -1 Rightarrow c1 = -12
Passo 7
Da segunda equação:
2c2 = 5 Rightarrow c2 = 52
Passo 8
Agora, usando o valor de c1 + 2c4 = 3 Rightarrow -12 + 2c4 = 3 na quarta equação:
2c4 = 3 + 12 = 72 Rightarrow c4 = 74
Isolando :
Passo 9
Por fim, usando o valor de 3c3 + c4 = 0 Rightarrow 3c3 = -c4 Rightarrow c3 = -c43 = -712 na terceira equação:
Resposta
As coordenadas da matriz c1 c2 c3 c4 = -dfrac12 dfrac52 -dfrac712 dfrac74 em relação à base são: