Encontre as coordenadas do(s) ponto(s) sabendo que é ortogonal ao plano e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Neste exercício, a gente precisa encontrar as coordenadas do(s) ponto(s) sabendo que o vetor é ortogonal ao plano e que o comprimento de é igual a 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como vetores normais a planos e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa um vetor ser ortogonal a um plano. Um vetor ortogonal ao plano é aquele que forma um ângulo de 90 graus com qualquer vetor que esteja dentro desse plano. Esse vetor ortogonal é chamado de vetor normal ao plano.

Passo 3

Para encontrar o vetor normal ao plano , vamos considerar dois vetores que estão no plano. Suponha que os pontos , e tenham coordenadas conhecidas. Vamos formar os vetores e . O produto vetorial desses dois vetores nos dará o vetor normal ao plano.

Passo 4

Agora que temos o vetor normal , sabemos que deve ser paralelo a para que seja ortogonal ao plano . Portanto, podemos expressar como uma constante múltipla de :

Passo 5

Sabemos também que o comprimento de é 1:
Dessa forma, podemos encontrar o valor de :

Passo 6

Com o valor de , podemos determinar o vetor :

Passo 7

Finalmente, para encontrar as coordenadas do ponto , basta somar o vetor às coordenadas do ponto :

Resposta

As coordenadas do(s) ponto(s) são dadas por:

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Se e , calcular .
Calcule a distância entre as duas retas paralelas e .
(b) e
Usando as propriedades do produto escalar, calcule .