Determine as coordenadas do polinômio em relação à seguinte base de : .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos as coordenadas do polinômio em relação a uma base específica de . Nossa base é . Basicamente, precisamos descobrir quais combinações lineares desses quatro polinômios resultam em . Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, mais especificamente, a ideia de representar um vetor (ou polinômio, no nosso caso) como combinação linear de vetores da base.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever uma equação que representa como uma combinação linear da base:
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos expandir a equação para facilitar a comparação dos coeficientes dos termos semelhantes:
Simplificando:

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação. No lado esquerdo, temos , o que significa que os coeficientes dos outros termos são zero. Assim, obtemos o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver o sistema passo a passo:
  1. Da primeira equação, já sabemos que .
  2. Da segunda equação, .
  3. Substituindo na terceira equação: .
  4. Substituindo , e na quarta equação:

Resposta

As coordenadas de em relação à base dada são .

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Seja a transformação linear dada por
Determine:
(b) a matriz da transformação em relação às bases
Suponha que U e são subespaços distintos de dimensão 4 de um espaço vetorial de dimensão 6. Encontre as dimensões possíveis de .
Seja o operador identidade (ou seja, para todo ) e considere uma base de . Determine a matriz que representa o operador em relação à base .
Sabendo que e , calcular