Determine as coordenadas do polinômio t^3 em relação à seguinte base de P3(R) : 1,2-t, 1+t^2, 1+t+t^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos as coordenadas do polinômio em relação a uma base específica de . Nossa base é . Basicamente, precisamos descobrir quais combinações lineares desses quatro polinômios resultam em . Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, mais especificamente, a ideia de representar um vetor (ou polinômio, no nosso caso) como combinação linear de vetores da base.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever uma equação que representa t^3 = a cdot 1 + b cdot (2 - t) + c cdot (1 + t^2) + d cdot (1 + t + t^3) como uma combinação linear da base:
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos expandir a equação para facilitar a comparação dos coeficientes dos termos semelhantes:
t^3 = a + b cdot 2 - b cdot t + c cdot 1 + c cdot t^2 + d cdot 1 + d cdot t + d cdot t^3
Simplificando:
t^3 = (a + 2b + c + d) + (-b + d) cdot t + c cdot t^2 + d cdot t^3

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação. No lado esquerdo, temos d = 1 & (coeficiente de t^3) c = 0 & (coeficiente de t^2) -b + d = 0 & (coeficiente de t) a + 2b + c + d = 0 & (termo constante) , o que significa que os coeficientes dos outros termos são zero. Assim, obtemos o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver o sistema passo a passo:
  1. Da primeira equação, já sabemos que a + 2(1) + 0 + 1 = 0 implies a + 2 + 1 = 0 implies a = -3 .
  2. Da segunda equação, .
  3. Substituindo na terceira equação: .
  4. Substituindo , e na quarta equação:

Resposta

As coordenadas de em relação à base dada são .

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