Determine:
(b) a matriz da transformação em relação às bases
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte (b) do exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. A gente tem uma transformação linear definida por . O que precisamos encontrar é a matriz dessa transformação em relação às bases dadas:
Base de entrada
Base de saída
Para isso, vamos precisar:
Entender como representar uma transformação linear em termos de matrizes.
Calcular as imagens dos vetores da base de entrada pela transformação .
Expressar essas imagens na base de saída .
Construir a matriz da transformação com esses coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como encontrar a matriz de uma transformação linear em relação a duas bases específicas. A matriz tem suas colunas formadas pelas coordenadas das imagens dos vetores da base de entrada na base de saída .
Ou seja, se e são os vetores de , então:
Então, vamos calcular e , e depois encontrar suas coordenadas na base .
Passo 3
Vamos começar calculando e , onde e .
Calculando :
Calculando :
Agora temos e .
Passo 4
Agora, precisamos expressar esses vetores e na base de saída , onde:
Queremos encontrar os coeficientes tais que:
Vamos fazer isso para e .
Passo 5
Vamos resolver para :
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo:
Da terceira equação:
Da segunda equação: ⟹
Da primeira equação: ⟹
Então, as coordenadas de na base são .
Passo 6
Agora, vamos fazer o mesmo para :
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo:
Da terceira equação:
Da segunda equação: ⟹
Da primeira equação: ⟹
Então, as coordenadas de na base são .
Passo 7
Agora que temos as coordenadas das imagens dos vetores da base na base :
Podemos montar a matriz da transformação colocando esses vetores como colunas: