Seja a transformação linear dada por
Determine:
(b) a matriz da transformação em relação às bases

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (b) do exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. A gente tem uma transformação linear definida por . O que precisamos encontrar é a matriz dessa transformação em relação às bases dadas:
  • Base de entrada
  • Base de saída
Para isso, vamos precisar:
  1. Entender como representar uma transformação linear em termos de matrizes.
  2. Calcular as imagens dos vetores da base de entrada pela transformação .
  3. Expressar essas imagens na base de saída .
  4. Construir a matriz da transformação com esses coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar a matriz de uma transformação linear em relação a duas bases específicas. A matriz tem suas colunas formadas pelas coordenadas das imagens dos vetores da base de entrada na base de saída .
Ou seja, se e são os vetores de , então:
Então, vamos calcular e , e depois encontrar suas coordenadas na base .

Passo 3

Vamos começar calculando e , onde e .
Calculando :
Calculando :
Agora temos e .

Passo 4

Agora, precisamos expressar esses vetores e na base de saída , onde:
Queremos encontrar os coeficientes tais que:
Vamos fazer isso para e .

Passo 5

Vamos resolver para :
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo:
  1. Da terceira equação:
  2. Da segunda equação:
  3. Da primeira equação:
Então, as coordenadas de na base são .

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para :
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo:
  1. Da terceira equação:
  2. Da segunda equação:
  3. Da primeira equação:
Então, as coordenadas de na base são .

Passo 7

Agora que temos as coordenadas das imagens dos vetores da base na base :
Podemos montar a matriz da transformação colocando esses vetores como colunas:

Resposta

A matriz da transformação em relação às bases e é

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