Seja T: R^2 R^3 a transformação linear dada por
T(x, y)=(x+2 y, y,-x+3 y)
Determine:
(b) a matriz da transformação em relação às bases
B1=(1,-1),(2,1) e B2=(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (b) do exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. A gente tem uma transformação linear definida por . O que precisamos encontrar é a matriz dessa transformação em relação às bases dadas:
  • Base de entrada
  • Base de saída
Para isso, vamos precisar:
  1. Entender como representar uma transformação linear em termos de matrizes.
  2. Calcular as imagens dos vetores da base de entrada pela transformação .
  3. Expressar essas imagens na base de saída .
  4. Construir a matriz da transformação com esses coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar a matriz de uma transformação linear em relação a duas bases específicas. A matriz tem suas colunas formadas pelas coordenadas das imagens dos vetores da base de entrada [T]B1^B2 = [T(v1)]B2 & [T(v2)]B2 na base de saída .
Ou seja, se e são os vetores de , então:
Então, vamos calcular e , e depois encontrar suas coordenadas na base .

Passo 3

Vamos começar calculando T(1, -1) = (1 + 2(-1), -1, -1 + 3(-1)) = (1 - 2, -1, -1 - 3) = (-1, -1, -4) e T(2, 1) = (2 + 2(1), 1, -2 + 3(1)) = (2 + 2, 1, -2 + 3) = (4, 1, 1) , onde e .
Calculando :
Calculando :
Agora temos e .

Passo 4

Agora, precisamos expressar esses vetores b1 = (1, 0, 0), b2 = (1, 1, 0), b3 = (1, 1, 1) e T(vi) = c1 b1 + c2 b2 + c3 b3 na base de saída , onde:
Queremos encontrar os coeficientes tais que:
Vamos fazer isso para e .

Passo 5

Vamos resolver para (-1, -1, -4) = c1(1, 0, 0) + c2(1, 1, 0) + c3(1, 1, 1) :
c1 + c2 + c3 = -1 (x) 0 + c2 + c3 = -1 (y) 0 + 0 + c3 = -4 (z)
Isso nos dá o sistema de equações:
0 3 -4
Resolvendo:
  1. Da terceira equação:
  2. Da segunda equação:
  3. Da primeira equação:
Então, as coordenadas de na base são .

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para (4, 1, 1) = d1(1, 0, 0) + d2(1, 1, 0) + d3(1, 1, 1) :
d1 + d2 + d3 = 4 (x) 0 + d2 + d3 = 1 (y) 0 + 0 + d3 = 1 (z)
Isso nos dá o sistema:
3 0 1
Resolvendo:
  1. Da terceira equação:
  2. Da segunda equação:
  3. Da primeira equação:
Então, as coordenadas de na base são .

Passo 7

Agora que temos as coordenadas das imagens dos vetores da base [T(v1)]B2 = 0 3 -4 , [T(v2)]B2 = 3 0 1 na base [T]B1^B2 = 0 & 3 3 & 0 -4 & 1 :
Podemos montar a matriz da transformação colocando esses vetores como colunas:

Resposta

A matriz da transformação [T]B1^B2 = 0 & 3 3 & 0 -4 & 1 em relação às bases e é

Exercícios relacionados