Determine as coordenadas do ponto onde a reta r(t) = (2 + t) i + (1 - 2t) j + 3t k intercepta o plano x z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as coordenadas do ponto onde a reta intercepta o plano . Isso está dentro do conteúdo de Geometria Analítica, envolvendo retas e planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como representar a reta e o plano matematicamente e encontrar o ponto de interseção entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a reta . Aqui, t é um parâmetro que varia livremente. As componentes , e nos dão as coordenadas de qualquer ponto na reta para um valor específico de t.

Passo 3

Agora, o plano é o conjunto de todos os pontos onde a coordenada y é igual a zero. Matemáticamente, isso significa que para qualquer ponto no plano , temos .

Passo 4

Para encontrar o ponto de interseção, precisamos descobrir para qual valor de t a coordenada y(t) da reta será igual a zero. Ou seja, resolveremos a equação:

Passo 5

Resolvendo a equação :
Então, quando , a reta intersecta o plano .

Passo 6

Agora que temos o valor de t, vamos substituir esse valor nas equações de x(t) e z(t) para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:

Resposta

O ponto de interseção é .

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