Determine o domínio de r(t) e o vetor r(t0): r(t) = (cos(pi t)) i - (ln t) j + (raiz(t - 2)) k ; t0 = 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um vetor e pediu para determinar o domínio dessa função e calcular o vetor quando . A gente vai usar conhecimentos de funções matemáticas como cosseno, logaritmo e raiz quadrada para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função r(t). O domínio é o conjunto de valores de t para os quais todas as partes da função estão definidas.

Passo 3

Vamos analisar cada componente de r(t):
  1. : A função cosseno está definida para todos os números reais. Então, não impõe restrição no domínio.
  2. : O logaritmo natural está definido apenas para . Então, t tem que ser maior que zero.
  3. : A raiz quadrada está definida apenas quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero. Portanto, , ou seja, .

Passo 4

Agora, vamos combinar as restrições:
  • De :
  • De :
O valor mais restritivo aqui é , já que isso também satisfaz . Então, o domínio de r(t) é todos os números reais maiores ou iguais a 2.
Domínio:

Passo 5

Agora, vamos calcular o vetor quando .
Vamos substituir t por 3 na função:

Passo 6

Vamos calcular cada componente:
  1. :
    Sabemos que , então:
  2. ln 3:
    É simplesmente o logaritmo natural de 3, que é aproximadamente 1,0986.
  3. :

Passo 7

Agora, substituindo esses valores de volta no vetor:
Podemos simplificar escrevendo:

Resposta

O domínio de r(t) é e o vetor é:

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