Determine a inclinação da reta no espaço 2 -D cuja equação vetorial é r(t) = (1 - 2t, -2 + 3t), t in R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é: Determine a inclinação da reta no espaço 2-D cuja equação vetorial é , onde t in R. A matéria envolvida aqui é geometria analítica, e para resolver vamos precisar entender de equações paramétricas de retas e como encontrar a inclinação (ou coeficiente angular) dessa reta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação vetorial dada: . Aqui, t é um parâmetro que varia nos números reais, e a equação nos dá as coordenadas x e y de qualquer ponto na reta para um determinado valor de t.

Passo 3

Vamos separar as componentes da equação vetorial para obter as equações paramétricas da reta:
Essas são as equações que nos dão as coordenadas x e y em função de t.

Passo 4

O próximo passo é encontrar a inclinação da reta, que é o coeficiente angular ( m) na forma da equação da reta . Para isso, precisamos relacionar x e y eliminando o parâmetro t.

Passo 5

Vamos resolver a equação de x(t) para t:
Agora, substituímos esse valor de t na equação de y(t):

Passo 6

Simplificando a expressão:
Agora, temos a equação da reta na forma , onde:

Passo 7

Esse valor de m é o coeficiente angular, que representa a inclinação da reta. Ele nos diz o quanto a reta sobe ou desce quando avançamos um certo valor no eixo x.

Resposta

A inclinação da reta é .

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