Determine as equações paramétricas e simétricas da mediana do lado do triângulo cujos vértices são e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as equações paramétricas e simétricas da mediana do lado de um triângulo com vértices em , e .
Matéria envolvida: Geometria Analítica no espaço tridimensional. Vamos precisar saber como encontrar o ponto médio de um segmento e como determinar as equações de uma reta no espaço usando pontos conhecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma mediana em um triângulo. A mediana de um lado é a reta que vai do ponto médio desse lado até o vértice oposto.
Então, a mediana do lado será a reta que liga o ponto médio de até o vértice .
Passo 3
Vamos encontrar o ponto médio de . A fórmula para o ponto médio de dois pontos e é:
Aplicando isso aos pontos e :
Passo 4
Agora que temos o ponto médio e o vértice , vamos encontrar as equações da reta que passa por esses dois pontos.
Equações paramétricas: Para encontrar as equações paramétricas de uma reta no espaço, precisamos de um ponto da reta e de um vetor diretor. O vetor diretor pode ser encontrado subtraindo as coordenadas dos pontos.
Então, as equações paramétricas são:
Onde é o vetor diretor e é o parâmetro.
Substituindo:
Passo 5
Equações simétricas: Para as equações simétricas, a ideia é isolar o parâmetro em cada equação paramétrica e igualá-los. A forma geral é: