Determine as equações paramétricas e simétricas da mediana do lado do triângulo cujos vértices são e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as equações paramétricas e simétricas da mediana do lado de um triângulo com vértices em , e .
Matéria envolvida: Geometria Analítica no espaço tridimensional. Vamos precisar saber como encontrar o ponto médio de um segmento e como determinar as equações de uma reta no espaço usando pontos conhecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma mediana em um triângulo. A mediana de um lado é a reta que vai do ponto médio desse lado até o vértice oposto.
Então, a mediana do lado será a reta que liga o ponto médio de até o vértice .

Passo 3

Vamos encontrar o ponto médio de . A fórmula para o ponto médio de dois pontos e é:
Aplicando isso aos pontos e :

Passo 4

Agora que temos o ponto médio e o vértice , vamos encontrar as equações da reta que passa por esses dois pontos.
Equações paramétricas: Para encontrar as equações paramétricas de uma reta no espaço, precisamos de um ponto da reta e de um vetor diretor. O vetor diretor pode ser encontrado subtraindo as coordenadas dos pontos.
Então, as equações paramétricas são:
Onde é o vetor diretor e é o parâmetro.
Substituindo:

Passo 5

Equações simétricas: Para as equações simétricas, a ideia é isolar o parâmetro em cada equação paramétrica e igualá-los. A forma geral é:
Usando o ponto e o vetor diretor :

Resposta

As equações paramétricas da mediana do lado são:
E as equações simétricas são:

Exercícios relacionados

Estabeleça as equações simétricas da reta , traçada pelo ponto , que seja concorrente com a reta e seja ortogonal ao vetor .
Determine as equações da reta definida pelos pontos e , com e .
Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos e .
Determine as coordenadas do ponto , simétrico de em relação à reta .