Determine as equações paramétricas e simétricas da mediana do lado A B do triângulo cujos vértices são A(-2,1,0), B(0,3,-2) e C(0,0,-6).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as equações paramétricas e simétricas da mediana do lado de um triângulo com vértices em , e .
Matéria envolvida: Geometria Analítica no espaço tridimensional. Vamos precisar saber como encontrar o ponto médio de um segmento e como determinar as equações de uma reta no espaço usando pontos conhecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma mediana em um triângulo. A mediana de um lado é a reta que vai do ponto médio desse lado até o vértice oposto.
Então, a mediana do lado será a reta que liga o ponto médio de até o vértice .

Passo 3

Vamos encontrar o ponto médio de M = ( x1 + x22, y1 + y22, z1 + z22 ) . A fórmula para o ponto médio M = ( -2 + 02, 1 + 32, 0 + (-2)2 ) = (-1, 2, -1) de dois pontos e é:
Aplicando isso aos pontos e :

Passo 4

Agora que temos o ponto médio DC = C - M = (0 - (-1), 0 - 2, -6 - (-1)) = (1, -2, -5) e o vértice x = xM + at y = yM + bt z = zM + ct , vamos encontrar as equações da reta que passa por esses dois pontos.
Equações paramétricas: Para encontrar as equações paramétricas de uma reta no espaço, precisamos de um ponto da reta e de um vetor diretor. O vetor diretor pode ser encontrado subtraindo as coordenadas dos pontos.
x = -1 + 1t y = 2 - 2t z = -1 - 5t
Então, as equações paramétricas são:
Onde é o vetor diretor e é o parâmetro.
Substituindo:

Passo 5

Equações simétricas: Para as equações simétricas, a ideia é isolar o parâmetro x - x0a = y - y0b = z - z0c em cada equação paramétrica e igualá-los. A forma geral é:
x + 11 = y - 2-2 = z + 1-5
Usando o ponto e o vetor diretor :

Resposta

As equações paramétricas da mediana do lado x = -1 + t y = 2 - 2t z = -1 - 5t são:
x + 11 = y - 2-2 = z + 1-5
E as equações simétricas são:

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