Determine as coordenadas do ponto da reta 2 x-y+3=0 que é equidistante dos pontos A(3,0) e B(1,-4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as coordenadas de um ponto que está na reta e que está igualmente distante dos pontos e . Vamos resolver isso usando conceitos de geometria analítica, especificamente as fórmulas de distância entre pontos e a condição de estar sobre uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. A fórmula da distância entre dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e é:

Passo 3

Queremos que a distância do ponto raiz(x - 3)^2 + (y - 0)^2 = raiz(x - 1)^2 + (y + 4)^2 até seja igual à distância de até . Então, temos:

Passo 4

Vamos eliminar as raízes quadradas elevando ambos os lados ao quadrado:
(x - 3)^2 + y^2 = (x - 1)^2 + (y + 4)^2

Passo 5

Expandindo os termos:
x^2 - 6x + 9 + y^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2 + 8y + 16

Passo 6

Simplificando os termos semelhantes:
-6x + 9 = -2x + 1 + 8y + 16
-6x + 9 = -2x + 17 + 8y

Passo 7

Isolando os termos com -6x + 2x = 17 - 9 + 8y e -4x = 8 + 8y :

Passo 8

Dividindo ambos os lados por 4 para simplificar:
- x = 2 + 2y
x = -2 - 2y

Passo 9

Agora, sabemos que o ponto 2(-2 - 2y) - y + 3 = 0 está na reta -4 - 4y - y + 3 = 0 . Vamos substituir -5y -1 = 0 pela expressão encontrada:

Passo 10

Resolvendo para -5y = 1 :
y = -15

Passo 11

Substituindo o valor de x = -2 - 2(-15) = -2 + 25 = -105 + 25 = -85 na expressão de :

Resposta

As coordenadas do ponto são .

Exercícios relacionados