Sejam A=[lllla & b & c & d b & a & d & c c & d & a & b d & c & b & a] e B=[rrrr1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & -1 & -1 1 & -1 & 1 & -1 1 & -1 & -1 & 1] duas matrizes 4 times 4
(a) Calcular det(B).

Passo 1

Vamos resolver o cálculo do determinante da matriz . A matriz é uma matriz quadrada de ordem 4, e para encontrar seu determinante, vamos utilizar técnicas de cálculo de determinantes de matrizes maiores. Precisamos conhecer o método de expansão por menores ou utilizar operações elementares para simplificar a matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz B = 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & -1 & -1 1 & -1 & 1 & -1 1 & -1 & -1 & 1 para visualizar melhor:

Passo 3

Observamos que todas as linhas da matriz começam com 1. Isso nos dá uma dica para simplificar o cálculo usando operações de linha. Vamos subtrair a primeira linha das demais linhas para simplificar a matriz.

Passo 4

Subtraindo a primeira linha da segunda, terceira e quarta linhas:
L2' &= L2 - L1 = [1-1, 1-1, -1-1, -1-1] = [0, 0, -2, -2] L3' &= L3 - L1 = [1-1, -1-1, 1-1, -1-1] = [0, -2, 0, -2] L4' &= L4 - L1 = [1-1, -1-1, -1-1, 1-1] = [0, -2, -2, 0]
A nova matriz fica:
B' = 1 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & -2 & -2 0 & -2 & 0 & -2 0 & -2 & -2 & 0

Passo 5

Agora, vamos expandir o determinante da matriz det(B') = 1 cdot det 0 & -2 & -2 -2 & 0 & -2 -2 & -2 & 0 pela primeira coluna, que tem apenas um elemento não nulo (1), facilitando o cálculo.

Passo 6

Agora, precisamos calcular o determinante da matriz C = 0 & -2 & -2 -2 & 0 & -2 -2 & -2 & 0 :
det(C) = 0 cdot (0 cdot 0 - (-2) cdot (-2)) - (-2) cdot (-2 cdot 0 - (-2) cdot (-2)) + (-2) cdot (-2 cdot (-2) - 0 cdot (-2))
Para calcular = 0 cdot (0 - 4) - (-2) cdot (0 - 4) + (-2) cdot (4 - 0) , usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus:
= 0 + 8 - 8 = 0

Passo 7

Voltando ao determinante da matriz det(B') = 1 cdot 0 = 0 :

Resposta

O determinante de é .

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