(2,0 pts)Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) as afirmações a seguir, justificando sua resposta:.
(a) ( ) Se o conjunto A=u, v, w é L.I, então o conjunto beta=u+v, u+w, v+w também é L.I.

Passo 1

Beleza, vamos ver qual é a questão. A gente tem o conjunto que é Linearmente Independente (L.I.). A pergunta é: se é L.I., então o conjunto também é L.I.? A gente vai precisar entender o que significa um conjunto ser linearmente independente e verificar se mantém essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto linearmente independente. Um conjunto de vetores é L.I. se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se implica que .

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto alpha(u + v) + beta(u + w) + gamma(v + w) = 0 . Queremos saber se esses vetores também são L.I. Para isso, vamos supor que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero:

Passo 4

Vamos expandir essa expressão:
alpha u + alpha v + beta u + beta w + gamma v + gamma w = 0
Agrupando os termos semelhantes:
(alpha + beta)u + (alpha + gamma)v + (beta + gamma)w = 0

Passo 5

Como alpha + beta = 0 alpha + gamma = 0 beta + gamma = 0 é L.I., sabemos que os coeficientes devem ser zero:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  1. De , temos .
  2. Substituindo em : => .
  3. Substituindo em : => => .
Então, e .

Passo 7

A única solução para a combinação linear ser zero é , o que significa que os vetores em são também linearmente independentes.

Resposta

Verdadeira (V). Se o conjunto é linearmente independente, então o conjunto também é linearmente independente.

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