(2,0 pts)Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) as afirmações a seguir, justificando sua resposta:.
(a) ( ) Se o conjunto
é L.I, então o conjunto
também é L.I.
(a) ( ) Se o conjunto
Passo 1
Beleza, vamos ver qual é a questão. A gente tem o conjunto
que é Linearmente Independente (L.I.). A pergunta é: se
é L.I., então o conjunto
também é L.I.? A gente vai precisar entender o que significa um conjunto ser linearmente independente e verificar se
mantém essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto linearmente independente. Um conjunto de vetores é L.I. se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se
implica que
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o conjunto
. Queremos saber se esses vetores também são L.I. Para isso, vamos supor que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero:
Passo 4
Vamos expandir essa expressão:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Como
é L.I., sabemos que os coeficientes devem ser zero:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
- De
, temos . - Substituindo
em : => . - Substituindo
em : => => .
Então,
e
.
Passo 7
A única solução para a combinação linear ser zero é
, o que significa que os vetores em
são também linearmente independentes.
Resposta
Verdadeira (V). Se o conjunto
é linearmente independente, então o conjunto
também é linearmente independente.