Determine o perímetro e a área do triângulo A B C, cujo vértice A está no eixo das abscissas, o vértice B no eixo das ordenadas e as retas suportes dos lados A C e B C têm equações x+y=4 e y-x=3 respectivamente.

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado: precisamos determinar o perímetro e a área do triângulo , onde o vértice está no eixo das abscissas (eixo ), o vértice está no eixo das ordenadas (eixo ), e as retas que formam os lados e têm as equações e , respectivamente. Para resolver isso, vamos precisar encontrar as coordenadas dos vértices , e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto x + y = 4 y - x = 3 , que é a interseção das retas (x + y) + (y - x) = 4 + 3 2y = 7 y = 72 e x + 72 = 4 x = 4 - 72 = 12 . Para isso, resolvemos o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:
Portanto, as coordenadas de são .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas dos pontos x + 0 = 4 x = 4 e y - 0 = 3 y = 3 .
  • O ponto está no eixo das abscissas, ou seja, sua coordenada é . Como está no lado , que está na reta , substituímos na equação:
Então, .
  • O ponto está no eixo das ordenadas, ou seja, sua coordenada é . Como está no lado , que está na reta , substituímos na equação:
Então, .

Passo 4

Com as coordenadas dos três vértices d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 , dAB = raiz(0 - 4)^2 + (3 - 0)^2 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5 e dAC = raiz( 12 - 4 )^2 + ( 72 - 0 )^2 = raiz( -72 )^2 + ( 72 )^2 = raiz494 + 494 = raiz984 = raiz24,5 approx 4,95 , vamos calcular as distâncias dos lados para encontrar o perímetro.
A fórmula para a distância entre dois pontos dBC = raiz( 12 - 0 )^2 + ( 72 - 3 )^2 = raiz( 12 )^2 + ( 12 )^2 = raiz14 + 14 = raiz24 = raiz12 approx 0,71 e é:
Calculando cada lado:
  • :
  • :
  • :

Passo 5

Agora, somamos as distâncias dos lados para encontrar o perímetro:
Perímetro = dAB + dAC + dBC approx 5 + 4,95 + 0,71 = 10,66 í
Para encontrar a área do triângulo, podemos usar a fórmula de Herão ou a fórmula da área usando coordenadas. Vamos optar pela fórmula usando coordenadas:
Área = 12 |xA(yB - yC) + xB(yC - yA) + xC(yA - yB)| Á
Substituindo os valores:
Área = 12 |4(3 - 72) + 0(72 - 0) + 12(0 - 3)| = 12 |4 cdot (-12) + 0 + 12 cdot (-3)| = 12 | -2 - 32 | = 12 cdot 72 = 74 = 1,75 Á

Resposta

O perímetro do triângulo é aproximadamente unidades e a área é unidades quadradas.

Exercícios relacionados