Determine o perímetro e a área do triângulo , cujo vértice está no eixo das abscissas, o vértice no eixo das ordenadas e as retas suportes dos lados e têm equações e respectivamente.

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado: precisamos determinar o perímetro e a área do triângulo , onde o vértice está no eixo das abscissas (eixo ), o vértice está no eixo das ordenadas (eixo ), e as retas que formam os lados e têm as equações e , respectivamente. Para resolver isso, vamos precisar encontrar as coordenadas dos vértices , e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto , que é a interseção das retas e . Para isso, resolvemos o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:
Portanto, as coordenadas de são .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas dos pontos e .
  • O ponto está no eixo das abscissas, ou seja, sua coordenada é . Como está no lado , que está na reta , substituímos na equação:
Então, .
  • O ponto está no eixo das ordenadas, ou seja, sua coordenada é . Como está no lado , que está na reta , substituímos na equação:
Então, .

Passo 4

Com as coordenadas dos três vértices , e , vamos calcular as distâncias dos lados para encontrar o perímetro.
A fórmula para a distância entre dois pontos e é:
Calculando cada lado:
  • :
  • :
  • :

Passo 5

Agora, somamos as distâncias dos lados para encontrar o perímetro:
í
Para encontrar a área do triângulo, podemos usar a fórmula de Herão ou a fórmula da área usando coordenadas. Vamos optar pela fórmula usando coordenadas:
Á
Substituindo os valores:
Á

Resposta

O perímetro do triângulo é aproximadamente unidades e a área é unidades quadradas.

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