Determine as coordenadas de um vetor de mesma direção de v=2 imath-jmath+2 k e que:
(a) tenha módulo igual a 9 ;
(b) seja o versor de v;
© tenha módulo igual à metade do módulo de v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor v = 2 imath - jmath + 2 k e precisa encontrar outros vetores que tenham a mesma direção que esse, mas com diferentes características de módulo (que é o tamanho do vetor). Vamos precisar lembrar como calcular o módulo de um vetor e como criar vetores na mesma direção.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o módulo do vetor v. O módulo de um vetor v = a imath + b jmath + c k é dado por:
|v| = raiza^2 + b^2 + c^2
Aplicando isso ao nosso vetor:
|v| = raiz2^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3
Então, o módulo de v é 3.

Passo 3

Parte (a): Vetor com mesma direção e módulo igual a 9

Queremos um vetor que tenha a mesma direção que v, mas com módulo 9. Para isso, vamos usar a ideia de múltiplos escalares. Se multiplicarmos v por um número escalar k, teremos um novo vetor u = k v que tem a mesma direção que v.
Mas precisamos achar o k tal que o módulo de u seja 9. Sabemos que:
|u| = |k||v| = |k| cdot 3 = 9
Resolvendo para k:
|k| = 93 = 3 k = 3 (como queremos mesmo sentido)
Então:
u = 3 v = 3(2 imath - jmath + 2 k) = 6 imath - 3 jmath + 6 k

Parte (b): Versor de v

Um versor é um vetor que tem o mesmo sentido que o vetor original, mas com módulo igual a 1. Para encontrar o versor v de v, dividimos cada componente de v pelo seu módulo:
v = v|v| = 2 imath - jmath + 2 k3 = 23 imath - 13 jmath + 23 k

Parte ©: Vetor com mesma direção e módulo igual à metade do módulo de v

Queremos um vetor com a mesma direção de v e com módulo igual a 32. Usando a mesma lógica da parte (a), vamos encontrar o escalar k:
|k| cdot 3 = 32 |k| = 3/23 = 12 k = 12
Então:
w = 12 v = 12(2 imath - jmath + 2 k) = imath - 12 jmath + k

Resposta

(a) u = 6 imath - 3 jmath + 6 k
(b) v = 23 imath - 13 jmath + 23 k
© w = imath - 12 jmath + k

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