Sejam e três pontos em .
i.- Determine as equações das retas paramétricas e a equação vetorial da reta
a) que passa pelos pontos e
b) que passa pelos pontos e
c) que passa pelos pontos e
ii.-
a) Determine o lugar geométrico onde se intersectam e .
b) Determine o lugar geométrico onde se intersectam e .
c) Determine o lugar geométrico onde se intersectam e .
iii.- Determinar a equação do plano que contém as interseções e e , e e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o problema nos dá três pontos no espaço tridimensional: , e . A matéria que vamos usar aqui é a Geometria Analítica no Espaço, especialmente as equações das retas e planos. Para resolver as partes (i), (ii) e (iii), vamos precisar saber como encontrar as equações paramétricas e vetoriais de retas, identificar pontos de interseção e determinar a equação de um plano que contém certas retas.
Passo 2
Vamos começar pela parte i.a, que pede as equações das retas paramétricas e vetoriais da reta que passa pelos pontos e .
Para encontrar a equação de uma reta no espaço, a gente precisa de um ponto por onde a reta passa e um vetor diretor. O vetor diretor pode ser encontrado subtraindo as coordenadas dos dois pontos dados.
Calculando o vetor diretor :
Agora, escolhemos um ponto na reta, por exemplo, . As equações paramétricas ficam:
Onde é o parâmetro.
A equação vetorial da reta é:
Passo 3
Agora, vamos para a parte i.b, que pede as equações das retas paramétricas e vetoriais da reta que passa pelos pontos e .
Primeiro, encontramos o vetor diretor :
Usando o ponto , as equações paramétricas de são:
Onde é o parâmetro.
A equação vetorial da reta é:
Passo 4
Seguimos para a parte i.c, que solicita as equações das retas paramétricas e vetoriais da reta que passa pelos pontos e .
Primeiro, encontramos o vetor diretor :
Usando o ponto , as equações paramétricas de são:
Onde é o parâmetro.
A equação vetorial da reta é:
Passo 5
Agora vamos para a parte ii.a, que pede para determinar o lugar geométrico onde se intersectam e .
Primeiro, precisamos ver se as retas e se cruzam em algum ponto. Para isso, igualamos as equações paramétricas das duas retas e resolvemos o sistema.
As equações de são:
As equações de são:
Onde e são os parâmetros das respectivas retas.
Igualando as coordenadas:
Substituindo em :
Verificando a coordenada :
Então, as retas e se intersectam no ponto quando (que é o ponto ).
Portanto, o lugar geométrico da interseção é apenas o ponto .
Passo 6
Agora, vamos para a parte ii.b, que pede para determinar onde e se intersectam.
Vamos igualar as equações paramétricas de e e ver se existe um ponto comum.
As equações de são:
As equações de são:
Onde e são os parâmetros das respectivas retas.
Igualando as coordenadas:
Substituindo em :
Verificando a coordenada :
Então, as retas e se intersectam no ponto quando (que é o ponto ).
Portanto, o lugar geométrico da interseção é apenas o ponto .
Passo 7
Vamos para a parte ii.c, que solicita determinar onde e se intersectam.
Igualamos as equações paramétricas de e e resolvemos.
As equações de são:
As equações de são:
Onde e são os parâmetros das respectivas retas.
Igualando as coordenadas:
Substituindo em :
Verificando a coordenada :
Então, as retas e se intersectam no ponto quando (que é o ponto ).
Portanto, o lugar geométrico da interseção é apenas o ponto .
Passo 8
Finalmente, vamos para a parte iii, que pede para determinar a equação do plano que contém as interseções e , e , e e .
Observando as interseções que encontramos:
e se intersectam no ponto
e se intersectam no ponto
e se intersectam no ponto
Como os pontos , e estão todos no mesmo plano, podemos usar esses pontos para determinar a equação do plano.
Para encontrar a equação de um plano, precisamos de um ponto no plano e de um vetor normal ao plano. Podemos conseguir o vetor normal usando o produto vetorial de dois vetores no plano.
Primeiro, vamos encontrar dois vetores no plano:
Agora, calculamos o produto vetorial para obter o vetor normal :
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 3:
Agora, usamos a equação geral do plano:
Onde é um ponto no plano, podemos usar o ponto .
Substituindo:
Expandindo:
Portanto, a equação do plano é:
Resposta
A equação do plano que contém as interseções das retas , e é: