Sejam P=(-2,1,4), Q=(2,1,1) e R=(0,4,1) três pontos em R^3.
i.- Determine as equações das retas paramétricas e a equação vetorial da reta
a) r1 que passa pelos pontos P e Q
b) r2 que passa pelos pontos P e R
c) r3 que passa pelos pontos R e Q
ii.-
a) Determine o lugar geométrico onde se intersectam r1 e r2.
b) Determine o lugar geométrico onde se intersectam r1 e r3.
c) Determine o lugar geométrico onde se intersectam r3 e r2.
iii.- Determinar a equação do plano que contém as interseções r1 e r2, r1 e r3, e r3 e r2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o problema nos dá três pontos no espaço tridimensional: , e . A matéria que vamos usar aqui é a Geometria Analítica no Espaço, especialmente as equações das retas e planos. Para resolver as partes (i), (ii) e (iii), vamos precisar saber como encontrar as equações paramétricas e vetoriais de retas, identificar pontos de interseção e determinar a equação de um plano que contém certas retas.

Passo 2

Vamos começar pela parte i.a, que pede as equações das retas paramétricas e vetoriais da reta PQ = Q - P = (2 - (-2), 1 - 1, 1 - 4) = (4, 0, -3) que passa pelos pontos x = -2 + 4t e y = 1 + 0t (ou simp<=smente) y = 1 .
Para encontrar a equação de uma reta no espaço, a gente precisa de um ponto por onde a reta passa e um vetor diretor. O vetor diretor pode ser encontrado subtraindo as coordenadas dos dois pontos dados.
Calculando o vetor diretor z = 4 - 3t :
r1 = P + t cdot PQ = (-2,1,4) + t(4,0,-3)
Agora, escolhemos um ponto na reta, por exemplo, . As equações paramétricas ficam:
Onde é o parâmetro.
A equação vetorial da reta é:

Passo 3

Agora, vamos para a parte i.b, que pede as equações das retas paramétricas e vetoriais da reta PR = R - P = (0 - (-2), 4 - 1, 1 - 4) = (2, 3, -3) que passa pelos pontos x = -2 + 2t e y = 1 + 3t .
Primeiro, encontramos o vetor diretor z = 4 - 3t :
r2 = P + t cdot PR = (-2,1,4) + t(2,3,-3)
Usando o ponto , as equações paramétricas de são:
Onde é o parâmetro.
A equação vetorial da reta é:

Passo 4

Seguimos para a parte i.c, que solicita as equações das retas paramétricas e vetoriais da reta RQ = Q - R = (2 - 0, 1 - 4, 1 - 1) = (2, -3, 0) que passa pelos pontos x = 0 + 2t (ou simp<=smente) x = 2t e y = 4 - 3t .
Primeiro, encontramos o vetor diretor z = 1 + 0t (ou simp<=smente) z = 1 :
r3 = R + t cdot RQ = (0,4,1) + t(2,-3,0)
Usando o ponto , as equações paramétricas de são:
Onde é o parâmetro.
A equação vetorial da reta é:

Passo 5

Agora vamos para a parte ii.a, que pede para determinar o lugar geométrico onde se intersectam x = -2 + 4t e y = 1 .
Primeiro, precisamos ver se as retas z = 4 - 3t e x = -2 + 2s se cruzam em algum ponto. Para isso, igualamos as equações paramétricas das duas retas e resolvemos o sistema.
As equações de y = 1 + 3s são:
z = 4 - 3s
-2 + 4t = -2 + 2s Rightarrow 4t = 2s Rightarrow 2t = s
1 = 1 + 3s Rightarrow 0 = 3s Rightarrow s = 0
As equações de 2t = 0 Rightarrow t = 0 são:
4 - 3t = 4 - 3(0) = 4 e 4 - 3s = 4 - 0 = 4
Onde e são os parâmetros das respectivas retas.
Igualando as coordenadas:
Substituindo em :
Verificando a coordenada :
Então, as retas e se intersectam no ponto quando (que é o ponto ).
Portanto, o lugar geométrico da interseção é apenas o ponto .

Passo 6

Agora, vamos para a parte ii.b, que pede para determinar onde x = -2 + 4t e y = 1 se intersectam.
Vamos igualar as equações paramétricas de z = 4 - 3t e x = 2s e ver se existe um ponto comum.
As equações de y = 4 - 3s são:
z = 1
-2 + 4t = 2s Rightarrow 4t = 2s + 2 Rightarrow 2t = s + 1
1 = 4 - 3s Rightarrow 3s = 3 Rightarrow s = 1
As equações de 2t = 1 + 1 = 2 Rightarrow t = 1 são:
4 - 3t = 4 - 3(1) = 1 e z = 1
Onde e são os parâmetros das respectivas retas.
Igualando as coordenadas:
Substituindo em :
Verificando a coordenada :
Então, as retas e se intersectam no ponto quando (que é o ponto ).
Portanto, o lugar geométrico da interseção é apenas o ponto .

Passo 7

Vamos para a parte ii.c, que solicita determinar onde x = 2s e y = 4 - 3s se intersectam.
Igualamos as equações paramétricas de z = 1 e x = -2 + 2t e resolvemos.
As equações de y = 1 + 3t são:
z = 4 - 3t
2s = -2 + 2t Rightarrow 2s + 2 = 2t Rightarrow t = s + 1
4 - 3s = 1 + 3t Rightarrow 4 - 3s = 1 + 3(s + 1) Rightarrow 4 - 3s = 1 + 3s + 3 Rightarrow 4 - 3s = 4 + 3s Rightarrow -6s = 0 Rightarrow s = 0
As equações de t = 0 + 1 = 1 são:
z = 1 e z = 4 - 3(1) = 1
Onde e são os parâmetros das respectivas retas.
Igualando as coordenadas:
Substituindo em :
Verificando a coordenada :
Então, as retas e se intersectam no ponto quando (que é o ponto ).
Portanto, o lugar geométrico da interseção é apenas o ponto .

Passo 8

Finalmente, vamos para a parte iii, que pede para determinar a equação do plano que contém as interseções PQ = Q - P = (2 - (-2), 1 - 1, 1 - 4) = (4,0,-3) e PR = R - P = (0 - (-2), 4 - 1, 1 - 4) = (2,3,-3) , n = PQ times PR = i & j & k 4 & 0 & -3 2 & 3 & -3 = i(0 cdot (-3) - (-3) cdot 3) - j(4 cdot (-3) - (-3) cdot 2) + k(4 cdot 3 - 0 cdot 2) e = i(0 + 9) - j(-12 + 6) + k(12 - 0) , e = 9i + 6j + 12k e n = (3, 2, 4) .
Observando as interseções que encontramos:
  • nx(x - x0) + ny(y - y0) + nz(z - z0) = 0 e 3(x + 2) + 2(y - 1) + 4(z - 4) = 0 se intersectam no ponto 3x + 6 + 2y - 2 + 4z - 16 = 0
  • 3x + 2y + 4z - 12 = 0 e 3x + 2y + 4z = 12 se intersectam no ponto
  • e se intersectam no ponto
Como os pontos , e estão todos no mesmo plano, podemos usar esses pontos para determinar a equação do plano.
Para encontrar a equação de um plano, precisamos de um ponto no plano e de um vetor normal ao plano. Podemos conseguir o vetor normal usando o produto vetorial de dois vetores no plano.
Primeiro, vamos encontrar dois vetores no plano:
Agora, calculamos o produto vetorial para obter o vetor normal :
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 3:
Agora, usamos a equação geral do plano:
Onde é um ponto no plano, podemos usar o ponto .
Substituindo:
Expandindo:
Portanto, a equação do plano é:

Resposta

A equação do plano que contém as interseções das retas 3x + 2y + 4z = 12 , e é:

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