Obtenha, usando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt a partir da base canônica, uma base ortonormal de , em relação ao produto interno acima definido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt a partir da base canônica no espaço para obter uma base ortonormal . Isso envolve trabalhar com vetores e produtos internos (ou produto escalar). Vamos precisar lembrar como o processo de Gram-Schmidt funciona para transformar uma base qualquer em uma base ortogonal, e depois normalizar esses vetores para que sejam unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a base canônica de , que é formada pelos vetores:
Como já estão na base canônica, eles são linearmente independentes, mas precisamos aplicar Gram-Schmidt para torná-los ortogonais e depois normalizá-los.
Passo 3
Vamos começar com o primeiro vetor . Esse vetor já está sozinho, então não precisa de ajustes. Só precisamos normalizá-lo.
A normalização é dividir o vetor pelo seu comprimento (norma). A norma de é:
Então, o primeiro vetor da base ortonormal é:
Passo 4
Agora, vamos para o segundo vetor . Precisamos torná-lo ortogonal a .
Usamos a fórmula de projeção:
Calculando o produto interno:
Então, a projeção é zero e:
Agora, normalizamos :
Logo, o segundo vetor da base ortonormal é:
Passo 5
Finalmente, vamos para o terceiro vetor . Precisamos torná-lo ortogonal em relação a e .
Primeiro, projetamos em :
Depois, projetamos em :
Então,
Normalizamos :
Portanto, o terceiro vetor da base ortonormal é:
Resposta
A base ortonormal obtida pelo processo de Gram-Schmidt é: