Obtenha, usando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt a partir da base canônica, uma base ortonormal beta^prime de R^3, em relação ao produto interno acima definido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt a partir da base canônica no espaço para obter uma base ortonormal . Isso envolve trabalhar com vetores e produtos internos (ou produto escalar). Vamos precisar lembrar como o processo de Gram-Schmidt funciona para transformar uma base qualquer em uma base ortogonal, e depois normalizar esses vetores para que sejam unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a base canônica de e1 = 100, e2 = 010, e3 = 001 , que é formada pelos vetores:
Como já estão na base canônica, eles são linearmente independentes, mas precisamos aplicar Gram-Schmidt para torná-los ortogonais e depois normalizá-los.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro vetor |v1| = raiz1^2 + 0^2 + 0^2 = 1 . Esse vetor já está sozinho, então não precisa de ajustes. Só precisamos normalizá-lo.
A normalização é dividir o vetor pelo seu comprimento (norma). A norma de u1 = v1|v1| = 100 é:
Então, o primeiro vetor da base ortonormal é:

Passo 4

Agora, vamos para o segundo vetor proju1 v2 = ( v2 cdot u1u1 cdot u1 ) u1 . Precisamos torná-lo ortogonal a v2 cdot u1 = 0 .
Usamos a fórmula de projeção:
w2 = v2 - proju1 v2 = e2
Calculando o produto interno:
|w2| = raiz0^2 + 1^2 + 0^2 = 1
Então, a projeção é zero e:
u2 = w2|w2| = 010
Agora, normalizamos :
Logo, o segundo vetor da base ortonormal é:

Passo 5

Finalmente, vamos para o terceiro vetor proju1 v3 = ( v3 cdot u1u1 cdot u1 ) u1 = 0 . Precisamos torná-lo ortogonal em relação a proju2 v3 = ( v3 cdot u2u2 cdot u2 ) u2 = 0 e |w3| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = 1 .
Primeiro, projetamos u3 = w3|w3| = 001 em :
Depois, projetamos em :
Então,
Normalizamos :
Portanto, o terceiro vetor da base ortonormal é:

Resposta

A base ortonormal beta' = 100, 010, 001 obtida pelo processo de Gram-Schmidt é:

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