Determine as coordenadas de um vetor unitário que seja ortogonal aos vetores e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as coordenadas de um vetor unitário que seja ortogonal aos vetores e . Isso está ligado ao conteúdo de álgebra vetorial, especificamente usando o produto vetorial para encontrar vetores perpendiculares e depois normalizando para tornar o vetor unitário.
Passo 2
Primeiro, para achar um vetor que seja ortogonal a ambos e , a gente usa o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais. A fórmula do produto vetorial é:
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial usando os componentes dos vetores:
Expandindo o determinante:
Simplificando:
Então:
Ou, nas coordenadas:
Passo 4
Agora que temos o vetor ortogonal , precisamos transformá-lo em um vetor unitário. Para isso, calculamos a magnitude (ou comprimento) do vetor e depois dividimos cada componente pelo comprimento.
A magnitude de um vetor é dada por:
Vamos calcular a magnitude de :
Passo 5
Finalmente, dividimos cada componente do vetor pela sua magnitude para obter o vetor unitário:
Resposta
As coordenadas do vetor unitário ortogonal aos vetores e são: