Determine as coordenadas de um vetor unitário que seja ortogonal aos vetores e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as coordenadas de um vetor unitário que seja ortogonal aos vetores e . Isso está ligado ao conteúdo de álgebra vetorial, especificamente usando o produto vetorial para encontrar vetores perpendiculares e depois normalizando para tornar o vetor unitário.
Passo 2
Primeiro, para achar um vetor que seja ortogonal a ambos e , a gente usa o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais. A fórmula do produto vetorial é:
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial u times v usando os componentes dos vetores:
u times v = i & j & k -1 & -1 & 0 0 & -1 & -1
Expandindo o determinante:
u times v = i cdot [(-1)(-1) - (0)(-1)] - j cdot [(-1)(-1) - (0)(0)] + k cdot [(-1)(-1) - (-1)(0)]
Simplificando:
u times v = i cdot (1 - 0) - j cdot (1 - 0) + k cdot (1 - 0)
Então:
u times v = i - j + k
Ou, nas coordenadas:
u times v = (1, -1, 1)
Passo 4
Agora que temos o vetor ortogonal (1, -1, 1), precisamos transformá-lo em um vetor unitário. Para isso, calculamos a magnitude (ou comprimento) do vetor e depois dividimos cada componente pelo comprimento.
A magnitude de um vetor w = (w1, w2, w3) é dada por: