Determine as coordenadas de um vetor unitário que seja ortogonal aos vetores u=(-1,-1,0) e v=(0,-1,-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as coordenadas de um vetor unitário que seja ortogonal aos vetores u=(-1,-1,0) e v=(0,-1,-1). Isso está ligado ao conteúdo de álgebra vetorial, especificamente usando o produto vetorial para encontrar vetores perpendiculares e depois normalizando para tornar o vetor unitário.

Passo 2

Primeiro, para achar um vetor que seja ortogonal a ambos u e v, a gente usa o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais. A fórmula do produto vetorial é:
u times v = i & j & k u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial u times v usando os componentes dos vetores:
u times v = i & j & k -1 & -1 & 0 0 & -1 & -1
Expandindo o determinante:
u times v = i cdot [(-1)(-1) - (0)(-1)] - j cdot [(-1)(-1) - (0)(0)] + k cdot [(-1)(-1) - (-1)(0)]
Simplificando:
u times v = i cdot (1 - 0) - j cdot (1 - 0) + k cdot (1 - 0)
Então:
u times v = i - j + k
Ou, nas coordenadas:
u times v = (1, -1, 1)

Passo 4

Agora que temos o vetor ortogonal (1, -1, 1), precisamos transformá-lo em um vetor unitário. Para isso, calculamos a magnitude (ou comprimento) do vetor e depois dividimos cada componente pelo comprimento.
A magnitude de um vetor w = (w1, w2, w3) é dada por:
|w| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2
Vamos calcular a magnitude de (1, -1, 1):
|w| = raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3

Passo 5

Finalmente, dividimos cada componente do vetor (1, -1, 1) pela sua magnitude raiz3 para obter o vetor unitário:
uunit = ( 1raiz3, -1raiz3, 1raiz3 )

Resposta

As coordenadas do vetor unitário ortogonal aos vetores u e v são:
( 1raiz3, -1raiz3, 1raiz3 )

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