Sejam e , , uma lista de vetores em . Determine o valor de de modo que .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que temos aqui! Estamos trabalhando com vetores no espaço tridimensional, ou seja, . Temos uma lista de vetores onde:
E a pergunta é: qual o valor de para que o vetor pertença ao conjunto formado pelas combinações lineares desses três vetores? Ou seja, queremos que seja uma combinação de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa estar no conjunto . Isso quer dizer que podemos escrever como uma combinação linear dos vetores , e . Em termos de equações, temos:
Onde , e são escalares que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos expandir essa combinação linear:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação:
Agora, substituímos na primeira equação:
Agora, substituímos na terceira equação:
Substituindo :

Resposta

O valor de que satisfaz a condição é , onde pode ser qualquer número real.

Exercícios relacionados

Determine as coordenadas de um vetor unitário que seja ortogonal aos vetores e .
Se e , determinar
Seja a base canônica do (operações usuais)
Prove que é base do , obtenha (justifique) (matriz de mudança de base da base para a base ) e, dados abaixo os vetores no , obtenha as coordenadas de cada um desses vetores em relação à base .
Encontre os geradores para os seguintes subespaços de :
(a) .