Sejam V=F^3 e alpha=(u1=(1,1,-2), u2=(3,0,4), u3=(-1,1,0)) uma lista de vetores em V. Determine o valor de k de modo que (4,-5, k) in F[u1, u2, u3].

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que temos aqui! Estamos trabalhando com vetores no espaço tridimensional, ou seja, V = F^3. Temos uma lista de vetores alpha = (u1, u2, u3) onde:
  • u1 = (1, 1, -2)
  • u2 = (3, 0, 4)
  • u3 = (-1, 1, 0)
E a pergunta é: qual o valor de k para que o vetor (4, -5, k) pertença ao conjunto formado pelas combinações lineares desses três vetores? Ou seja, queremos que (4, -5, k) seja uma combinação de u1, u2 e u3.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa estar no conjunto F[u1, u2, u3]. Isso quer dizer que podemos escrever (4, -5, k) como uma combinação linear dos vetores u1, u2 e u3. Em termos de equações, temos:
a cdot u1 + b cdot u2 + c cdot u3 = (4, -5, k)
Onde a, b e c são escalares que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos expandir essa combinação linear:
a cdot (1, 1, -2) + b cdot (3, 0, 4) + c cdot (-1, 1, 0) = (4, -5, k)
Isso nos dá um sistema de equações:
1a + 3b - 1c = 4 1a + 0b + 1c = -5 -2a + 4b + 0c = k

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação:
a + c = -5 Rightarrow a = -5 - c
Agora, substituímos a na primeira equação:
(-5 - c) + 3b - c = 4 -5 - c + 3b - c = 4 3b - 2c = 9 Rightarrow 3b = 9 + 2c Rightarrow b = 3 + 23c
Agora, substituímos a na terceira equação:
-2(-5 - c) + 4b = k 10 + 2c + 4b = k
Substituindo b:
10 + 2c + 4(3 + 23c) = k 10 + 2c + 12 + 83c = k 22 + 143c = k

Resposta

O valor de k que satisfaz a condição é k = 22 + dfrac143c, onde c pode ser qualquer número real.

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