Sejam e , , uma lista de vetores em . Determine o valor de de modo que .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que temos aqui! Estamos trabalhando com vetores no espaço tridimensional, ou seja, . Temos uma lista de vetores onde:
E a pergunta é: qual o valor de para que o vetor pertença ao conjunto formado pelas combinações lineares desses três vetores? Ou seja, queremos que seja uma combinação de , e .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa estar no conjunto . Isso quer dizer que podemos escrever como uma combinação linear dos vetores , e . Em termos de equações, temos:
Onde , e são escalares que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos expandir essa combinação linear:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação:
a + c = -5 Rightarrow a = -5 - c
Agora, substituímos a na primeira equação:
(-5 - c) + 3b - c = 4 -5 - c + 3b - c = 4 3b - 2c = 9 Rightarrow 3b = 9 + 2c Rightarrow b = 3 + 23c
Agora, substituímos a na terceira equação:
-2(-5 - c) + 4b = k 10 + 2c + 4b = k
Substituindo b:
10 + 2c + 4(3 + 23c) = k 10 + 2c + 12 + 83c = k 22 + 143c = k
Resposta
O valor de k que satisfaz a condição é k = 22 + dfrac143c, onde c pode ser qualquer número real.