Determine as coordenadas do vetor do em relação às bases:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de álgebra linear! O enunciado pede para encontrar as coordenadas do vetor no espaço em relação a uma base específica composta pelos vetores . Para isso, vamos precisar entender como representar um vetor em uma nova base, o que envolve resolver um sistema de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar nossos vetores da base de , e . Queremos encontrar escalares , e tais que:
Ou seja:

Passo 3

Vamos expandir essa igualdade para obter um sistema de equações. Multiplicando cada escalar pelos respectivos componentes dos vetores da base:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Aqui, usamos a ideia de que para duas coordenadas serem iguais, os respectivos componentes devem ser iguais.

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo. Já temos que diretamente da segunda equação. Substituindo nas outras equações:
Simplificando:
Agora, somando as duas equações para eliminar :
Com , substituímos na primeira equação:

Resposta

As coordenadas do vetor em relação à base são .

Exercícios relacionados

Calcule a matriz , sendo a matriz identidade .
Determine as coordenadas do vetor do em relação às bases:
Canônica:
Calcule a distância entre as duas retas paralelas e .
(a) e
Dados e , determine o ponto no segmento de extremos e tal que
(b)