Determine as coordenadas do vetor v=(5,1,3) do R^3 em relação às bases:
(2,1,2),(1,0,1),(1,0,-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de álgebra linear! O enunciado pede para encontrar as coordenadas do vetor no espaço em relação a uma base específica composta pelos vetores . Para isso, vamos precisar entender como representar um vetor em uma nova base, o que envolve resolver um sistema de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar nossos vetores da base de v = a cdot b1 + b cdot b2 + c cdot b3 , (5, 1, 3) = a cdot (2,1,2) + b cdot (1,0,1) + c cdot (1,0,-1) e . Queremos encontrar escalares , e tais que:
Ou seja:

Passo 3

Vamos expandir essa igualdade para obter um sistema de equações. Multiplicando cada escalar pelos respectivos componentes dos vetores da base:
(5, 1, 3) = (2a + b + c, a, 2a + b - c)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
2a + b + c = 5 a = 1 2a + b - c = 3
Aqui, usamos a ideia de que para duas coordenadas serem iguais, os respectivos componentes devem ser iguais.

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo. Já temos que 2(1) + b + c = 5 Rightarrow 2 + b + c = 5 2(1) + b - c = 3 Rightarrow 2 + b - c = 3 diretamente da segunda equação. Substituindo b + c = 3 b - c = 1 nas outras equações:
(b + c) + (b - c) = 3 + 1 Rightarrow 2b = 4 Rightarrow b = 2
Simplificando:
2 + c = 3 Rightarrow c = 1
Agora, somando as duas equações para eliminar :
Com , substituímos na primeira equação:

Resposta

As coordenadas do vetor em relação à base são .

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