Determine as coordenadas do vetor v=(5,1,3) do R^3 em relação às bases:
Canônica: (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede. Temos um vetor no espaço tridimensional , e queremos encontrar suas coordenadas em relação à base canônica. Aqui, vamos trabalhar com o conceito de bases e coordenadas de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a base canônica. No (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) , a base canônica é composta pelos vetores:
Esses vetores são chamados de vetores unitários e correspondem aos eixos , e respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos ver como encontrar as coordenadas de um vetor em relação a uma base. As coordenadas de um vetor em uma determinada base são os escalares que multiplicam cada vetor da base para resultar no vetor original. Em outras palavras, se a base é v = a cdot b1 + b cdot b2 + c cdot b3 e o vetor é , queremos encontrar tais que:

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso, onde a base é canônica:
v = (5,1,3) = a cdot (1,0,0) + b cdot (0,1,0) + c cdot (0,0,1)
Isso resulta nas seguintes equações:
5 = a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 0 1 = a cdot 0 + b cdot 1 + c cdot 0 3 = a cdot 0 + b cdot 0 + c cdot 1
Resolvendo essas equações, obtemos:
a = 5, b = 1, c = 3

Resposta

As coordenadas do vetor em relação à base canônica são .

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