Determine a distância entre o ponto P e a reta r em cada caso.
© r: y=4 x-5 e P=(13,13)

Passo 1

Beleza, a gente tem que encontrar a distância entre o ponto P = (13, 13) e a reta r que é dada pela equação y = 4x - 5. Vamos usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta, que envolve os coeficientes da equação da reta e as coordenadas do ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da reta no formato geral: Ax + By + C = 0. A equação y = 4x - 5 pode ser rearranjada para -4x + y + 5 = 0. Então, temos A = -4, B = 1 e C = 5.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula da distância ( d) de um ponto (x0, y0) até uma reta Ax + By + C = 0, que é:
d = |A x0 + B y0 + C|raizA^2 + B^2

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula. Nosso ponto é (13, 13), então x0 = 13 e y0 = 13. E os coeficientes da reta são A = -4, B = 1, C = 5. Substituindo na fórmula:
d = |-4 cdot 13 + 1 cdot 13 + 5|raiz(-4)^2 + 1^2 = |-52 + 13 + 5|raiz16 + 1 = |-34|raiz17 = 34raiz17

Passo 5

Para simplificar, podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por raiz17:
d = 34 raiz1717 = 2 raiz17

Resposta

A distância entre o ponto P e a reta r é 2 raiz17 unidades.

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