Determine as coordenadas de um vetor v que seja ortogonal ao vetor u=(2,5) e tal que o módulo de v seja 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar as coordenadas de um vetor que seja ortogonal ao vetor e que tenha módulo igual a 1. Isso significa que deve formar um ângulo de 90 graus com e ter comprimento exatamente 1. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como produto escalar e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar de u cdot v = u1v1 + u2v2 e 2v1 + 5v2 = 0 é calculado assim:
Então, queremos que:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um vetor v = (-5, 2) que satisfaz essa equação. Uma forma fácil de encontrar um vetor ortogonal é trocar as componentes de 2(-5) + 5(2) = -10 + 10 = 0 e mudar o sinal de uma delas. Por exemplo, podemos escolher:
Vamos verificar se isso funciona:
Então, é realmente ortogonal a .

Passo 4

Agora, precisamos ajustar |v| = raiz(-5)^2 + 2^2 = raiz25 + 4 = raiz29 para que tenha módulo igual a 1. Para isso, vamos calcular o módulo de vunitário = ( dfrac-5raiz29, dfrac2raiz29 ) e então dividir cada componente por esse módulo.
O módulo de é dado por:
Então, para normalizar o vetor, fazemos:
á

Resposta

As coordenadas do vetor são .

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