Determine as coordenadas de um vetor
que seja ortogonal ao vetor
e tal que o módulo de
seja 1
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar as coordenadas de um vetor
que seja ortogonal ao vetor
e que tenha módulo igual a 1. Isso significa que
deve formar um ângulo de 90 graus com
e ter comprimento exatamente 1. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como produto escalar e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar de
e
é calculado assim:
Então, queremos que:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um vetor
que satisfaz essa equação. Uma forma fácil de encontrar um vetor ortogonal é trocar as componentes de
e mudar o sinal de uma delas. Por exemplo, podemos escolher:
Vamos verificar se isso funciona:
Então,
é realmente ortogonal a
.
Passo 4
Agora, precisamos ajustar
para que tenha módulo igual a 1. Para isso, vamos calcular o módulo de
e então dividir cada componente por esse módulo.
O módulo de
é dado por:
Então, para normalizar o vetor, fazemos:
Resposta
As coordenadas do vetor
são
.
Exercícios relacionados
Considere o vetor
. Determine
tal que o vetor
seja ortogonal ao vetor
.
Determine se é um espaço vetorial
O conjunto com as operações
i. Adição:
ii. Mult. por escolar:
O conjunto
i. Adição:
ii. Mult. por escolar:
Determine a equação paramétrica da reta: que é paralela ao vetor
e passa pelo ponto
.
Determine a equação cartesiana da reta que passa pelos pontos
e
.