Uma partícula está se movendo ao longo do eixo
de acordo com a equação
, em que
é o tempo.
Encontre os pontos em que a partícula muda de direção.
Encontre os pontos em que a partícula muda de direção.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma partícula se movendo ao longo do eixo
com a posição dada pela função
, onde
é o tempo. O objetivo é descobrir em quais pontos a partícula muda de direção. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o conceito de derivada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a velocidade da partícula, que é a derivada da posição em relação ao tempo. A derivada nos mostra como a posição está mudando no instante
.
A função da posição é:
Então, a velocidade
é:
Passo 3
Para encontrar onde a partícula muda de direção, precisamos descobrir quando a velocidade muda de sinal, ou seja, quando passa de positiva para negativa ou vice-versa. Isso acontece nos pontos críticos, onde a velocidade é zero.
Vamos resolver a equação:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação quadrática
para encontrar os valores de
.
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Passo 5
Agora que encontramos
e
, vamos verificar se a velocidade realmente muda de sinal nesses pontos.
-
Para
: - Por exemplo,
:
- Por exemplo,
-
Entre
: - Por exemplo,
:
- Por exemplo,
-
Para
: - Por exemplo,
:
- Por exemplo,
Isso mostra que a velocidade muda de positiva para negativa em
e de negativa para positiva em
, confirmando que a partícula muda de direção nesses pontos.
Passo 6
Por último, vamos encontrar as posições correspondentes a esses instantes de tempo para identificar os pontos no eixo
:
-
Para
: -
Para
:
Resposta
A partícula muda de direção nos pontos
segundos, onde está em
, e
segundos, onde está em
.