Uma partícula está se movendo ao longo do eixo x de acordo com a equação x(t)=t^3-6 t^2+9 t+2, em que t é o tempo.
Encontre os pontos em que a partícula muda de direção.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma partícula se movendo ao longo do eixo com a posição dada pela função , onde é o tempo. O objetivo é descobrir em quais pontos a partícula muda de direção. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o conceito de derivada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a velocidade da partícula, que é a derivada da posição em relação ao tempo. A derivada nos mostra como a posição está mudando no instante x(t) = t^3 -6 t^2 + 9 t + 2 .
A função da posição é:
v(t) = dxdt = 3t^2 - 12t + 9
Então, a velocidade é:

Passo 3

Para encontrar onde a partícula muda de direção, precisamos descobrir quando a velocidade muda de sinal, ou seja, quando passa de positiva para negativa ou vice-versa. Isso acontece nos pontos críticos, onde a velocidade é zero.
Vamos resolver a equação:
3t^2 - 12t + 9 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
t^2 - 4t + 3 = 0

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática t = 4 pm raiz16 - 122 = 4 pm 22 para encontrar os valores de t = 4 + 22 = 3 e t = 4 - 22 = 1 .
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:

Passo 5

Agora que encontramos v(0) = 0 - 0 + 9 = 9 , (positivo) e v(2) = 12 - 24 + 9 = -3 , (negativo) , vamos verificar se a velocidade realmente muda de sinal nesses pontos.
  • Para v(4) = 48 - 48 + 9 = 9 , (positivo) :
    • Por exemplo, :
  • Entre :
    • Por exemplo, :
  • Para :
    • Por exemplo, :
Isso mostra que a velocidade muda de positiva para negativa em e de negativa para positiva em , confirmando que a partícula muda de direção nesses pontos.

Passo 6

Por último, vamos encontrar as posições correspondentes a esses instantes de tempo para identificar os pontos no eixo x(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 2 = 1 - 6 + 9 + 2 = 6 :
  • Para x(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) + 2 = 27 - 54 + 27 + 2 = 2 :
  • Para :

Resposta

A partícula muda de direção nos pontos segundos, onde está em , e segundos, onde está em .

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