Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base .

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para encontrar as coordenadas do vetor em relação à base . Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre como expressar vetores em diferentes bases. Para resolver, vamos precisar entender como representar como uma combinação linear dos vetores da base .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação dos vetores da base. Nesse caso, queremos encontrar escalares e tais que:
Isso significa que estamos procurando os valores de e que, quando multiplicados pelos vetores da base e somados, resultam no vetor .

Passo 3

Para encontrar e , precisamos expressar cada vetor em termos de suas componentes. Suponha que conhecemos as coordenadas dos pontos , , e . Vamos representar cada vetor pelas suas componentes:
Então, a equação fica:

Passo 4

Agora, isso nos dá um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Podemos resolver esse sistema usando métodos como substituição ou eliminação para encontrar os valores de e .

Passo 5

Após resolver o sistema, os valores encontrados para e serão as coordenadas do vetor na base . Ou seja, as coordenadas serão dadas por .

Resposta

As coordenadas do vetor em relação à base são , onde e são os valores encontrados ao resolver o sistema de equações acima.

Exercícios relacionados

Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base .
Dados os vetores e , determinar:
Sejam e pontos distintos, e tome o ponto está na reta de tal forma que , para , não-nulos. Escreva e em função de , r e s.
Sejam um triângulo e , e os pontos médios dos lados , respectivamente. Os segmentos são chamados de medianas de . Para todo o exercício tome como base .
Ache as coordenadas de e e mostre, usando coordenadas, que não há duas medianas paralelas.