Sejam e pontos distintos, e tome o ponto está na reta de tal forma que , para , não-nulos. Escreva e em função de , r e s.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois pontos distintos, e , e um terceiro ponto que está na reta que liga e . A relação entre os vetores e é dada por uma razão . Ou seja, estamos trabalhando com segmentação de vetor e razões entre vetores. Para resolver, vamos precisar saber como dividir um segmento em uma certa proporção usando vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação dada:
Isso significa que o vetor é para assim como o vetor é para . Podemos reescrever essa igualdade multiplicando ambos os lados por e para facilitar:

Passo 3

Agora, vamos expressar em termos de . Sabemos que:
Substituindo da equação anterior:

Passo 4

Agora, isolamos na equação:
Isso nos mostra que o vetor é uma fração do vetor , determinada pela razão .

Passo 5

Para encontrar , usamos a relação que já estabelecemos:

Resposta

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Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base .
Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base .
Sejam um triângulo e , e os pontos médios dos lados , respectivamente. Os segmentos são chamados de medianas de . Para todo o exercício tome como base .
Ache as coordenadas de e e mostre, usando coordenadas, que não há duas medianas paralelas.
Dados os vetores e , determinar: