Sejam e pontos distintos, e tome o ponto está na reta de tal forma que , para r, s in R, não-nulos. Escreva A C e C B em função de A B, r e s.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois pontos distintos, e , e um terceiro ponto que está na reta que liga e . A relação entre os vetores e é dada por uma razão . Ou seja, estamos trabalhando com segmentação de vetor e razões entre vetores. Para resolver, vamos precisar saber como dividir um segmento em uma certa proporção usando vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação dada:
ACr = CBs
Isso significa que o vetor s cdot AC = r cdot CB é para assim como o vetor é para . Podemos reescrever essa igualdade multiplicando ambos os lados por e para facilitar:
Passo 3
Agora, vamos expressar AB = AC + CB em termos de AB = AC + sr AC = AC (1 + sr) = AC (r + sr) . Sabemos que:
Substituindo da equação anterior:
Passo 4
Agora, isolamos AC = rr + s AB na equação:
Isso nos mostra que o vetor é uma fração do vetor , determinada pela razão .
Passo 5
Para encontrar CB = sr AC = sr cdot rr + s AB = sr + s AB , usamos a relação que já estabelecemos: