Sejam um triângulo e , e os pontos médios dos lados , respectivamente. Os segmentos são chamados de medianas de . Para todo o exercício tome como base .
Ache as coordenadas de e e mostre, usando coordenadas, que não há duas medianas paralelas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um triângulo com , e sendo os pontos médios dos lados , e , respectivamente. As medianas são os segmentos , e . Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas dessas medianas usando vetores com base em e depois mostrar que nenhuma dessas medianas é paralela entre si. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre vetores e pontos médios.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as coordenadas do vetor . Sabemos que é o ponto médio de , então as coordenadas de são a média das coordenadas de e . Como estamos usando como base, podemos escrever:
Como é representado por e por , substituindo:
Portanto, o vetor , que vai de até , é:
Passo 3
Agora vamos encontrar as coordenadas do vetor . é o ponto médio de , então:
Mas é o ponto de partida, ou seja, o vetor zero. Assim:
O vetor vai de até , então:
Passo 4
Da mesma forma, vamos achar as coordenadas do vetor . é o ponto médio de , então:
Novamente, é zero, então:
O vetor vai de até , então:
Passo 5
Agora que temos as coordenadas das três medianas, vamos verificar se alguma delas é paralela. Dois vetores são paralelos se um for um múltiplo escalar do outro. Vamos comparar:
Se tentarmos igualar a algum múltiplo de ou , não conseguimos encontrar um escalar que satisfaça a igualdade para todos os componentes. Isso significa que nenhuma das medianas é um múltiplo escalar das outras, ou seja, nenhuma é paralela às outras.
Resposta
As coordenadas das medianas são:
E, usando essas coordenadas, mostramos que nenhuma das medianas é paralela entre si.