Sejam um triângulo e , e os pontos médios dos lados , respectivamente. Os segmentos A M, B N e C P são chamados de medianas de triang<= A B C. Para todo o exercício tome como base (A B, A C).
Ache as coordenadas de A M, B N e C P e mostre, usando coordenadas, que não há duas medianas paralelas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um triângulo ABC com M, N e P sendo os pontos médios dos lados BC, CA e AB, respectivamente. As medianas são os segmentos AM, BN e CP. Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas dessas medianas usando vetores com base em (AB, AC) e depois mostrar que nenhuma dessas medianas é paralela entre si. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre vetores e pontos médios.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as coordenadas do vetor AM. Sabemos que M é o ponto médio de BC, então as coordenadas de M são a média das coordenadas de B e C. Como estamos usando (AB, AC) como base, podemos escrever:
M = B + C2
Como B é representado por AB e C por AC, substituindo:
M = AB + AC2
Portanto, o vetor AM, que vai de A até M, é:
AM = AB + AC2
Passo 3
Agora vamos encontrar as coordenadas do vetor BN. N é o ponto médio de CA, então:
N = C + A2
Mas A é o ponto de partida, ou seja, o vetor zero. Assim:
N = AC2
O vetor BN vai de B até N, então:
BN = N - B = AC2 - AB
Passo 4
Da mesma forma, vamos achar as coordenadas do vetor CP. P é o ponto médio de AB, então:
P = A + B2
Novamente, A é zero, então:
P = AB2
O vetor CP vai de C até P, então:
CP = P - C = AB2 - AC
Passo 5
Agora que temos as coordenadas das três medianas, vamos verificar se alguma delas é paralela. Dois vetores são paralelos se um for um múltiplo escalar do outro. Vamos comparar:
AM = AB + AC2
BN = AC2 - AB
CP = AB2 - AC
Se tentarmos igualar AM a algum múltiplo de BN ou CP, não conseguimos encontrar um escalar que satisfaça a igualdade para todos os componentes. Isso significa que nenhuma das medianas é um múltiplo escalar das outras, ou seja, nenhuma é paralela às outras.
Resposta
As coordenadas das medianas são:
AM = AB + AC2, BN = AC2 - AB, CP = AB2 - AC
E, usando essas coordenadas, mostramos que nenhuma das medianas é paralela entre si.