Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar as coordenadas de um vetor específico, que nesse caso é o vetor zero, em relação a uma base dada . Basicamente, queremos expressar o vetor zero como uma combinação linear dos vetores da base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço vetorial. No nosso caso, a base tem dois vetores: e . Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação desses dois vetores.
Passo 3
Agora, para encontrar as coordenadas do vetor zero em relação a essa base, queremos encontrar escalares e tais que:
Passo 4
Como estamos falando do vetor zero, que é o vetor nulo, sabemos que qualquer vetor multiplicado por zero resulta no vetor zero. Então, intuitivamente, os escalares e devem ser zero.
Passo 5
Vamos formalizar isso. Se substituirmos e na equação acima, temos:
Isso confirma que os valores e satisfazem a equação.