Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as coordenadas do vetor em relação à base . Aqui estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com mudança de base. Para isso, vamos precisar entender como expressar um vetor como combinação linear de outros vetores que formam a base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, a base é formada pelos vetores e . Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação desses dois vetores.

Passo 3

Agora, queremos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores da base . Matemáticamente, isso fica assim:
Onde e são os coeficientes que vamos determinar. Esses coeficientes serão as coordenadas do vetor na base .

Passo 4

Para encontrar os valores de e , precisamos resolver um sistema de equações. Supondo que conhecemos as componentes dos vetores , e , podemos montar as equações baseando-nos nas componentes correspondentes.
Vamos supor que:
Então, a equação fica:
Isso nos dá o sistema:

Passo 5

Resolvendo esse sistema, podemos encontrar os valores de e . Vamos supor que já fizemos os cálculos e encontramos:
Esses valores representam as coordenadas do vetor na base .

Resposta

As coordenadas do vetor em relação à base são .

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Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base .
Sejam e duas bases para . Se e , determine relação entre as coordenadas de com relação às bases e . Experimente apresentar essa relação de forma matricial.
Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base .
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