Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as coordenadas do vetor em relação à base . Aqui estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com mudança de base. Para isso, vamos precisar entender como expressar um vetor como combinação linear de outros vetores que formam a base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, a base é formada pelos vetores e . Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação desses dois vetores.
Passo 3
Agora, queremos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores da base . Matemáticamente, isso fica assim:
Onde e são os coeficientes que vamos determinar. Esses coeficientes serão as coordenadas do vetor na base .
Passo 4
Para encontrar os valores de e , precisamos resolver um sistema de equações. Supondo que conhecemos as componentes dos vetores , e , podemos montar as equações baseando-nos nas componentes correspondentes.
Vamos supor que:
Então, a equação fica:
Isso nos dá o sistema:
Passo 5
Resolvendo esse sistema, podemos encontrar os valores de e . Vamos supor que já fizemos os cálculos e encontramos:
Esses valores representam as coordenadas do vetor na base .