Sejam e duas bases para . Se e , determine relação entre as coordenadas de com relação às bases e . Experimente apresentar essa relação de forma matricial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta duas bases diferentes, e , para o espaço vetorial . A gente precisa descobrir como as coordenadas de um vetor se relacionam quando usamos essas duas bases diferentes. Para isso, vamos precisar entender como mudar de uma base para outra usando matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dizer que e . Isso quer dizer que os vetores da base estão expressos em termos da base . Ou seja, é igual a e similar para .

Passo 3

Agora, para relacionar as coordenadas de em e , vamos usar a matriz de mudança de base. Essa matriz vai ajudar a converter as coordenadas de para ou vice-versa.

Passo 4

Vamos construir a matriz de mudança de base de para . Essa matriz é formada pelas coordenadas dos vetores de em termos de . Então, nossa matriz vai ser:

Passo 5

Com essa matriz, podemos relacionar as coordenadas de em ( ) e em ( ) da seguinte forma:
Aqui, é a matriz inversa da matriz de mudança de base que construímos.

Passo 6

Portanto, a relação entre as coordenadas de nas bases e é dada por uma multiplicação matricial entre a matriz inversa da mudança de base e o vetor de coordenadas na base .

Resposta

A relação entre as coordenadas de nas bases e é dada pela multiplicação da matriz inversa de pelas coordenadas de em :

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Dados os vetores e , determinar:
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Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base .
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