Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as coordenadas do vetor em relação à base . Isso está no assunto de Álgebra Linear, mais especificamente sobre mudança de base e representação de vetores em diferentes sistemas de coordenadas. Para isso, vamos precisar entender como expressar um vetor como combinação linear dos vetores da base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em Álgebra Linear, uma base é um conjunto de vetores que são lineares e span (ou seja, qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação desses vetores). No nosso caso, a base é formada pelos vetores e . Isso significa que qualquer vetor no mesmo espaço pode ser escrito como uma combinação desses dois vetores.
Passo 3
Agora, queremos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores da base. Ou seja, precisamos encontrar escalares e tais que:
Esses escalares e vão ser as coordenadas do vetor na base .
Passo 4
Para encontrar e , precisamos ter informações sobre os vetores , e . Supondo que sabemos as componentes desses vetores, podemos montar um sistema de equações para resolver e . Por exemplo, se:
Então, temos:
Passo 5
Resolvendo esse sistema de equações, podemos encontrar os valores de e . Esses valores serão as coordenadas de na base . Se o sistema tiver solução única, esses valores serão os únicos possíveis. Se não tiver, pode ser que os vetores não formem uma base válida ou que haja dependência entre eles.
Resposta
As coordenadas do vetor em relação à base são , onde e são os valores encontrados resolvendo o sistema de equações mostrado acima.