Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar as coordenadas do vetor em relação à base , que é formada pelos vetores e . Isso significa que queremos expressar como uma combinação linear desses dois vetores base. Para resolver isso, vamos precisar entender como decompor um vetor em termos de uma base dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que podem ser usados para expressar qualquer vetor no espaço como uma combinação desses vetores. No nosso caso, queremos encontrar escalares e tais que:

Passo 3

Para encontrar os valores de e , precisamos resolver esse sistema de equações. Mas, para isso, precisamos das coordenadas dos vetores envolvidos. Supondo que temos as coordenadas dos pontos , , , e , podemos encontrar as coordenadas dos vetores , e .

Passo 4

Vamos calcular as coordenadas de cada vetor:

Passo 5

Agora, substituímos essas coordenadas na equação da combinação linear:
Isso nos dá um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ):

Passo 6

Resolvemos esse sistema para encontrar os valores de e . Isso pode ser feito usando métodos de resolução de sistemas lineares, como substituição, eliminação ou matrizes.

Passo 7

Após encontrar os valores de e , podemos concluir que as coordenadas do vetor na base são .

Resposta

As coordenadas do vetor em relação à base são , onde e são os coeficientes encontrados ao resolver o sistema de equações acima.

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