Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrarmos as coordenadas do vetor em relação à base , que é formada pelos vetores e . Para resolver isso, vamos precisar entender como representar um vetor em uma base diferente, ou seja, encontrar os coeficientes que, quando multiplicados pelos vetores da base, resultam no vetor que queremos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base. No nosso caso, queremos encontrar números e tais que:
Esses números e serão as coordenadas de na base .
Passo 3
Agora, precisamos expressar os vetores em termos das coordenadas conhecidas. Suponha que temos as coordenadas dos pontos , , e no plano. Vamos definir:
Passo 4
Substituindo na equação da combinação linear, temos:
Isso resulta em um sistema de duas equações:
Passo 5
Para encontrar os valores de e , resolvemos esse sistema de equações. Podemos usar métodos como substituição ou matriz inversa. Vamos usar a matriz inversa para simplificar:
Escrevemos o sistema na forma matricial:
$$
$$
Passo 6
Calculamos a inversa da matriz dos coeficientes e multiplicamos pelo vetor dos termos conhecidos:
$$
^{-1}
$$
Passo 7
Após encontrar os valores de e , esses serão as coordenadas do vetor na base . Assim, teremos:
Resposta
As coordenadas do vetor na base são , onde e são encontrados resolvendo o sistema de equações estabelecido.