Encontre as coordenadas do vetor v=(3,-2) em relação às bases B, B1, B2 e B3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as coordenadas do vetor em relação às bases , , e . Isso envolve conceitos de espaços vetoriais e mudança de base. Para resolver, vamos precisar entender como uma base define como expressamos um vetor e como encontrar as coordenadas desse vetor em cada base específica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma base. Em álgebra linear, uma base de um espaço vetorial como é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.
Para encontrar as coordenadas do vetor em uma base específica, precisamos expressar como uma combinação linear dos vetores dessa base. Ou seja, queremos encontrar escalares que, multiplicados pelos vetores da base, somados, nos dão .

Passo 3

Vamos começar com a base v = a cdot b1 + b cdot b2 . Suponha que a base (3, -2) = a cdot (1, 0) + b cdot (0, 1) seja formada pelos vetores (3, -2) = (a, 0) + (0, b) e (3, -2) = (a, b) — que é a base padrão de a = 3 .
Queremos encontrar os escalares b = -2 e tais que:
Substituindo os valores:
Isso nos dá:

Passo 4

Agora, vamos para a base (3, -2) = a cdot (2, 1) + b cdot (1, 1) . Suponha que 2a + b = 3 a + b = -2 seja formada pelos vetores (2a + b) - (a + b) = 3 - (-2) e a = 5 .
Queremos encontrar 5 + b = -2 e b = -7 tais que:
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Subtraia a segunda equação da primeira:
Substituindo na segunda equação:

Passo 5

Vamos para a base (3, -2) = a cdot (1, 2) + b cdot (3, 1) . Suponha que a + 3b = 3 2a + b = -2 seja formada pelos vetores 6a + 3b = -6 e (6a + 3b) - (a + 3b) = -6 - 3 .
Queremos encontrar 5a = -9 e a = -95 tais que:
-95 + 3b = 3
Isso nos dá o sistema de equações:
3b = 3 + 95
Resolvendo o sistema:
Multiplique a segunda equação por 3:
3b = 245
Subtraia a primeira equação:
b = 85
Substituindo na primeira equação:

Passo 6

Por último, vamos para a base (3, -2) = a cdot (4, 1) + b cdot (1, 3) . Suponha que 4a + b = 3 a + 3b = -2 seja formada pelos vetores 4a + 12b = -8 e (4a + 12b) - (4a + b) = -8 - 3 .
Queremos encontrar 11b = -11 e b = -1 tais que:
4a - 1 = 3
Isso resulta no sistema de equações:
4a = 4
Resolvendo o sistema:
Multiplique a segunda equação por 4:
a = 1
Subtraia a primeira equação:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

As coordenadas do vetor são:
  • Em relação à base :
  • Em relação à base :
  • Em relação à base :
  • Em relação à base :

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