Encontre as coordenadas do vetor
em relação às bases
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as coordenadas do vetor
em relação às bases
,
,
e
. Isso envolve conceitos de espaços vetoriais e mudança de base. Para resolver, vamos precisar entender como uma base define como expressamos um vetor e como encontrar as coordenadas desse vetor em cada base específica.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma base. Em álgebra linear, uma base de um espaço vetorial como
é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.
Para encontrar as coordenadas do vetor
em uma base específica, precisamos expressar
como uma combinação linear dos vetores dessa base. Ou seja, queremos encontrar escalares que, multiplicados pelos vetores da base, somados, nos dão
.
Passo 3
Vamos começar com a base
. Suponha que a base
seja formada pelos vetores
e
— que é a base padrão de
.
Queremos encontrar os escalares
e
tais que:
Substituindo os valores:
Isso nos dá:
Passo 4
Agora, vamos para a base
. Suponha que
seja formada pelos vetores
e
.
Queremos encontrar
e
tais que:
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Subtraia a segunda equação da primeira:
Subtraia a segunda equação da primeira:
Substituindo
na segunda equação:
Passo 5
Vamos para a base
. Suponha que
seja formada pelos vetores
e
.
Queremos encontrar
e
tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Multiplique a segunda equação por 3:
Multiplique a segunda equação por 3:
Subtraia a primeira equação:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 6
Por último, vamos para a base
. Suponha que
seja formada pelos vetores
e
.
Queremos encontrar
e
tais que:
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Multiplique a segunda equação por 4:
Multiplique a segunda equação por 4:
Subtraia a primeira equação:
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
As coordenadas do vetor
são:
- Em relação à base
: - Em relação à base
: - Em relação à base
: - Em relação à base
: