Determine os cossenos diretores e os ângulos diretores do vetor dado (aproxime o ângulo diretor até o grau mais próximo):
<1,2,2>

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o vetor lang<= 1, 2, 2 rang<= e precisamos encontrar os cossenos diretores e os ângulos diretores desse vetor. Para isso, vamos usar conceitos de matemática vetorial, especificamente sobre vetores no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o módulo do vetor, que é o comprimento dele. A fórmula para o módulo de um vetor lang<= a, b, c rang<= é:
| v | = raiza^2 + b^2 + c^2
Então, para o nosso vetor:
| v | = raiz1^2 + 2^2 + 2^2 = raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3

Passo 3

Agora que temos o módulo, vamos encontrar os cossenos diretores. Esses cossenos são as projeções do vetor nas direções dos eixos coordenados, e são calculados dividindo cada componente do vetor pelo seu módulo. As fórmulas são:
cos alpha = a| v |, cos beta = b| v |, cos gamma = c| v |
Aplicando ao nosso vetor:
cos alpha = 13, cos beta = 23, cos gamma = 23

Passo 4

Por fim, vamos determinar os ângulos diretores. Esses ângulos são os ângulos que o vetor forma com cada um dos eixos coordenados e são encontrados usando a função inversa do cosseno (arcoseno). As fórmulas são:
alpha = arccos(a| v |), beta = arccos(b| v |), gamma = arccos(c| v |)
Calculando:
alpha = arccos(13) approx 70^circ
beta = arccos(23) approx 48^circ
gamma = arccos(23) approx 48^circ

Resposta

Os cossenos diretores do vetor lang<= 1, 2, 2 rang<= são cos alpha = 13, cos beta = 23 e cos gamma = 23. Os ângulos diretores correspondentes são aproximadamente alpha = 70^circ, beta = 48^circ e gamma = 48^circ.

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