Determine os cossenos diretores e os ângulos diretores do vetor dado (aproxime o ângulo diretor até o grau mais próximo):
-8 i+3 j+2 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar os cossenos diretores e os ângulos diretores do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de vetores no espaço tridimensional e entender como encontrar essas medidas. Vamos precisar calcular o módulo do vetor e depois aplicar fórmulas de trigonometria básica para achar os cossenos e os ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o módulo do vetor. O módulo de um vetor |v| = raiza^2 + b^2 + c^2 é dado por:
|v| = raiz(-8)^2 + 3^2 + 2^2 = raiz64 + 9 + 4 = raiz77 approx 8,77496
No nosso caso, os componentes são , e . Vamos calcular:

Passo 3

Agora, vamos calcular os cossenos diretores. Eles são os cossenos dos ângulos que o vetor forma com cada um dos eixos coordenados. As fórmulas são:
cos alpha = a|v|, cos beta = b|v|, cos gamma = c|v|
Substituindo os valores:
cos alpha = -88,77496 approx -0,9129
cos beta = 38,77496 approx 0,3418
cos gamma = 28,77496 approx 0,2279

Passo 4

Por último, vamos encontrar os ângulos diretores usando a função arco cosseno ( alpha = arccos(-0,9129) approx 154^circ ) para cada cosseno diretor. Isso nos dá os ângulos em graus:
beta = arccos(0,3418) approx 70^circ
gamma = arccos(0,2279) approx 77^circ

Resposta

Os cossenos diretores do vetor cos alpha approx -0,9129, cos beta approx 0,3418, cos gamma approx 0,2279 são aproximadamente:
alpha approx 154^circ, beta approx 70^circ, gamma approx 77^circ
E os ângulos diretores correspondentes são:

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