Um vetor a forma com os eixos Ox e Oy, respectivamente, os ângulos de 120^circ e 45^circ. Qual o ângulo entre a e Oz?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos diz que um vetor a forma ângulos de 120^circ com o eixo Ox e 45^circ com o eixo Oy. Precisamos descobrir qual é o ângulo desse vetor com o eixo Oz. Vamos usar um pouco de trigonometria vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma regra importante na trigonometria dos vetores no espaço tridimensional. Se um vetor forma ângulos alpha, beta e gamma com os eixos Ox, Oy e Oz, respectivamente, então a soma dos quadrados dos cossenos desses ângulos é igual a 1. Em fórmula, isso fica assim:
cos^2(alpha) + cos^2(beta) + cos^2(gamma) = 1

Passo 3

Na nossa questão, já conhecemos alpha = 120^circ e beta = 45^circ. Vamos substituir esses valores na fórmula:
cos^2(120^circ) + cos^2(45^circ) + cos^2(gamma) = 1

Passo 4

Agora, vamos calcular os cossenos desses ângulos:
  • cos(120^circ) = -12, então cos^2(120^circ) = (-12)^2 = 14
  • cos(45^circ) = raiz22, então cos^2(45^circ) = (raiz22)^2 = 12
Substituindo na equação:
14 + 12 + cos^2(gamma) = 1

Passo 5

Vamos somar os valores que já temos:
14 + 12 = 14 + 24 = 34
Então, a equação fica:
34 + cos^2(gamma) = 1

Passo 6

Agora, isolamos cos^2(gamma):
cos^2(gamma) = 1 - 34 = 14

Passo 7

Para encontrar gamma, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
cos(gamma) = pm 12
Como estamos falando de ângulos entre vetores e eixos, consideramos apenas valores positivos. Portanto:
cos(gamma) = 12

Passo 8

Agora, usamos a função arco cosseno para encontrar o ângulo:
gamma = arccos(12) = 60^circ

Resposta

O ângulo entre a e Oz é 60^circ.

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