Um vetor forma com os eixos Ox e Oy, respectivamente, os ângulos de . Qual o ângulo entre e Oz?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos diz que um vetor forma ângulos de com o eixo Ox e com o eixo Oy. Precisamos descobrir qual é o ângulo desse vetor com o eixo Oz. Vamos usar um pouco de trigonometria vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma regra importante na trigonometria dos vetores no espaço tridimensional. Se um vetor forma ângulos , e com os eixos Ox, Oy e Oz, respectivamente, então a soma dos quadrados dos cossenos desses ângulos é igual a 1. Em fórmula, isso fica assim:

Passo 3

Na nossa questão, já conhecemos e . Vamos substituir esses valores na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos calcular os cossenos desses ângulos:
  • , então
  • , então
Substituindo na equação:

Passo 5

Vamos somar os valores que já temos:
Então, a equação fica:

Passo 6

Agora, isolamos :

Passo 7

Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Como estamos falando de ângulos entre vetores e eixos, consideramos apenas valores positivos. Portanto:

Passo 8

Agora, usamos a função arco cosseno para encontrar o ângulo:

Resposta

O ângulo entre e Oz é .

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Determine os cossenos diretores e os ângulos diretores do vetor dado (aproxime o ângulo diretor até o grau mais próximo):
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Um vetor tem dois de seus ângulos diretores dados por e , com e , respectivamente. Calcule as coordenadas de , sabendo que .
Avalie as proposições a seguir e determine se são verdadeiras ou falsa, sempre justificando sua resposta.
e) Se é uma função par, então é uma função par.