Um vetor tem dois de seus ângulos diretores dados por e , com e , respectivamente. Calcule as coordenadas de , sabendo que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um vetor que tem dois ângulos diretores de com o eixo e com o eixo . A gente precisa descobrir as coordenadas desse vetor sabendo que o módulo (ou tamanho) de é 2. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e ângulos diretores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são ângulos diretores. Em um espaço tridimensional, qualquer vetor forma um ângulo com cada um dos eixos coordenados: (eixo x), (eixo y) e (eixo z). Esses ângulos nos ajudam a encontrar as componentes do vetor em cada direção.
Passo 3
As componentes de um vetor em cada direção podem ser encontradas usando a fórmula:
Onde:
é o módulo do vetor.
, , são os ângulos que o vetor forma com os eixos , e , respectivamente.
Passo 4
Na nossa questão, temos:
(ângulo com )
(ângulo com )
Mas não foi dado o ângulo com . Então, precisamos encontrar a componente em de outra forma.
Passo 5
Vamos calcular as componentes conhecidas:
Para :
Para :
Passo 6
Agora, sabemos que o vetor tem as componentes e . Precisamos encontrar .