Um vetor
tem dois de seus ângulos diretores dados por
e
, com
e
, respectivamente. Calcule as coordenadas de
, sabendo que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um vetor
que tem dois ângulos diretores de
com o eixo
e
com o eixo
. A gente precisa descobrir as coordenadas desse vetor sabendo que o módulo (ou tamanho) de
é 2. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e ângulos diretores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são ângulos diretores. Em um espaço tridimensional, qualquer vetor
forma um ângulo com cada um dos eixos coordenados:
(eixo x),
(eixo y) e
(eixo z). Esses ângulos nos ajudam a encontrar as componentes do vetor em cada direção.
Passo 3
As componentes de um vetor em cada direção podem ser encontradas usando a fórmula:
Onde:
-
é o módulo do vetor. -
, , são os ângulos que o vetor forma com os eixos , e , respectivamente.
Passo 4
Na nossa questão, temos:
-
-
(ângulo com ) -
(ângulo com )
Mas não foi dado o ângulo com
. Então, precisamos encontrar a componente em
de outra forma.
Passo 5
Vamos calcular as componentes conhecidas:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, sabemos que o vetor
tem as componentes
e
. Precisamos encontrar
.
Sabemos que o módulo do vetor é dado por:
Substituindo os valores que temos:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
:
Elevando os dois lados ao quadrado:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Tirando a raiz quadrada:
Passo 8
Então, as possíveis coordenadas do vetor
são:
Resposta
As coordenadas do vetor
são
ou
.