Um vetor tem dois de seus ângulos diretores dados por e , com e , respectivamente. Calcule as coordenadas de , sabendo que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um vetor que tem dois ângulos diretores de com o eixo e com o eixo . A gente precisa descobrir as coordenadas desse vetor sabendo que o módulo (ou tamanho) de é 2. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e ângulos diretores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são ângulos diretores. Em um espaço tridimensional, qualquer vetor forma um ângulo com cada um dos eixos coordenados: (eixo x), (eixo y) e (eixo z). Esses ângulos nos ajudam a encontrar as componentes do vetor em cada direção.

Passo 3

As componentes de um vetor em cada direção podem ser encontradas usando a fórmula:
Onde:
  • é o módulo do vetor.
  • , , são os ângulos que o vetor forma com os eixos , e , respectivamente.

Passo 4

Na nossa questão, temos:
  • (ângulo com )
  • (ângulo com )
Mas não foi dado o ângulo com . Então, precisamos encontrar a componente em de outra forma.

Passo 5

Vamos calcular as componentes conhecidas:
Para :
Para :

Passo 6

Agora, sabemos que o vetor tem as componentes e . Precisamos encontrar .
Sabemos que o módulo do vetor é dado por:
Substituindo os valores que temos:

Passo 7

Agora, vamos resolver para :
Elevando os dois lados ao quadrado:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Tirando a raiz quadrada:

Passo 8

Então, as possíveis coordenadas do vetor são:

Resposta

As coordenadas do vetor são ou .

Exercícios relacionados

Um vetor forma com os eixos Ox e Oy, respectivamente, os ângulos de . Qual o ângulo entre e Oz?
Determine os cossenos diretores e os ângulos diretores do vetor dado (aproxime o ângulo diretor até o grau mais próximo):
Avalie as proposições a seguir e determine se são verdadeiras ou falsa, sempre justificando sua resposta.
e) Se é uma função par, então é uma função par.
Verifique se é verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirmação e justifique sua resposta: e .