Um vetor a tem dois de seus ângulos diretores dados por 60^circ e 120^circ, com i e k, respectivamente. Calcule as coordenadas de a, sabendo que |a|=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um vetor a que tem dois ângulos diretores de 60^circ com o eixo i e 120^circ com o eixo k. A gente precisa descobrir as coordenadas desse vetor sabendo que o módulo (ou tamanho) de a é 2. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e ângulos diretores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são ângulos diretores. Em um espaço tridimensional, qualquer vetor a forma um ângulo com cada um dos eixos coordenados: i (eixo x), j (eixo y) e k (eixo z). Esses ângulos nos ajudam a encontrar as componentes do vetor em cada direção.

Passo 3

As componentes de um vetor em cada direção podem ser encontradas usando a fórmula:
a = ( |a| cos alpha, |a| cos beta, |a| cos gamma )
Onde:
  • |a| é o módulo do vetor.
  • alpha, beta, gamma são os ângulos que o vetor forma com os eixos i, j e k, respectivamente.

Passo 4

Na nossa questão, temos:
  • |a| = 2
  • alpha = 60^circ (ângulo com i)
  • gamma = 120^circ (ângulo com k)
Mas não foi dado o ângulo com j. Então, precisamos encontrar a componente em j de outra forma.

Passo 5

Vamos calcular as componentes conhecidas:
Para i:
ax = 2 cos 60^circ = 2 times 0,5 = 1
Para k:
az = 2 cos 120^circ = 2 times (-0,5) = -1

Passo 6

Agora, sabemos que o vetor a tem as componentes ax = 1 e az = -1. Precisamos encontrar ay.
Sabemos que o módulo do vetor é dado por:
|a| = raizax^2 + ay^2 + az^2
Substituindo os valores que temos:
2 = raiz1^2 + ay^2 + (-1)^2
2 = raiz1 + ay^2 + 1
2 = raiz2 + ay^2

Passo 7

Agora, vamos resolver para ay:
Elevando os dois lados ao quadrado:
4 = 2 + ay^2
Subtraindo 2 de ambos os lados:
ay^2 = 2
Tirando a raiz quadrada:
ay = raiz2 ou ay = -raiz2

Passo 8

Então, as possíveis coordenadas do vetor a são:
a = (1, raiz2, -1) ou a = (1, -raiz2, -1)

Resposta

As coordenadas do vetor a são boxed(1, raiz2, -1) ou boxed(1, -raiz2, -1).

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