Seja uma curva regular cuja torção não se anula. Prove que existe uma curva tal que e são curvas de Bertrand se, e só se, a curvatura e a torção de satisfazem a uma relação da forma
onde e são constantes;
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma curva regular cuja torção nunca é zero. Queremos provar que existe outra curva de forma que e sejam curvas de Bertrand se e somente se as curvaturas e torções de satisfazem a relação , onde e são constantes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de Bertrand e como as curvaturas e torções estão relacionadas a essas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de Bertrand. Duas curvas e são chamadas de curvas de Bertrand se, para cada ponto correspondente nas curvas, as tangentes são paralelas e as normais principais dessas curvas coincidem. Isso significa que existe uma relação linear entre as curvaturas e torções das curvas.
Passo 3
Agora, vamos considerar as equações que descrevem as Frenet-Serret para a curva . As fórmulas de Frenet-Serret relacionam as derivadas das vetores tangent, normal e binormal com a curvatura e a torção :
Onde , e são os vetores tangent, normal e binormal, respectivamente.
Passo 4
Para que exista uma curva de Bertrand , devemos ter uma relação linear entre as curvaturas e torções de e . Suponha que a relação seja da forma , onde e são constantes. Vamos mostrar que essa condição é necessária e suficiente para a existência de .
Passo 5
Primeiro, suponha que existe uma curva de Bertrand . Então, há uma constante tal que a relação entre as curvaturas e torções de e seja linear. Isso implica que podemos escrever para algumas constantes e . Portanto, a condição é necessária.
Passo 6
Agora, vamos mostrar que se , então existe uma curva de Bertrand . A condição permite expressar a torção em termos da curvatura :
Isso estabelece uma relação direta entre e , o que garante que a curva associada a satisfaça os critérios de Bertrand.
Passo 7
Finalmente, combinando os passos anteriores, concluímos que a existência de uma curva de Bertrand está diretamente ligada à relação linear entre a curvatura e a torção de . Se essa relação for satisfeita, então existe; caso contrário, não existe.
Resposta
Existe uma curva tal que e são curvas de Bertrand se e somente se as curvaturas e torções de satisfazem a relação , onde e são constantes.