Seja uma curva regular cuja torção não se anula. Prove que existe uma curva tal que e são curvas de Bertrand se, e só se, a curvatura e a torção de satisfazem a uma relação da forma
onde e são constantes;
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma curva regular cuja torção nunca é zero. Queremos provar que existe outra curva de forma que e sejam curvas de Bertrand se e somente se as curvaturas e torções de satisfazem a relação , onde e são constantes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de Bertrand e como as curvaturas e torções estão relacionadas a essas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de Bertrand. Duas curvas e são chamadas de curvas de Bertrand se, para cada ponto correspondente nas curvas, as tangentes são paralelas e as normais principais dessas curvas coincidem. Isso significa que existe uma relação linear entre as curvaturas e torções das curvas.
Passo 3
Agora, vamos considerar as equações que descrevem as Frenet-Serret para a curva . As fórmulas de Frenet-Serret relacionam as derivadas das vetores tangent, normal e binormal com a curvatura e a torção :
Onde T, N e B são os vetores tangent, normal e binormal, respectivamente.
Passo 4
Para que exista uma curva de Bertrand beta, devemos ter uma relação linear entre as curvaturas e torções de alpha e beta. Suponha que a relação seja da forma a kappa(s) + b tau(s) = 1, onde a e b são constantes. Vamos mostrar que essa condição é necessária e suficiente para a existência de beta.
Passo 5
Primeiro, suponha que existe uma curva de Bertrand beta. Então, há uma constante c tal que a relação entre as curvaturas e torções de alpha e beta seja linear. Isso implica que podemos escrever a kappa(s) + b tau(s) = 1 para algumas constantes a e b. Portanto, a condição é necessária.
Passo 6
Agora, vamos mostrar que se a kappa(s) + b tau(s) = 1, então existe uma curva de Bertrand beta. A condição a kappa(s) + b tau(s) = 1 permite expressar a torção tau(s) em termos da curvatura kappa(s):
tau(s) = 1 - a kappa(s)b
Isso estabelece uma relação direta entre kappa(s) e tau(s), o que garante que a curva beta associada a alpha satisfaça os critérios de Bertrand.
Passo 7
Finalmente, combinando os passos anteriores, concluímos que a existência de uma curva de Bertrand beta está diretamente ligada à relação linear a kappa(s) + b tau(s) = 1 entre a curvatura e a torção de alpha. Se essa relação for satisfeita, então beta existe; caso contrário, não existe.
Resposta
Existe uma curva beta tal que alpha e beta são curvas de Bertrand se e somente se as curvaturas e torções de alpha satisfazem a relação a kappa(s) + b tau(s) = 1, onde a e b são constantes.