Determine as curvas de grade das superfícies dadas, nos pontos indicados (encontre e correspondente ao ponto):
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar as curvas de grade da superfície definida por no ponto . Primeiro, precisamos entender que “curvas de grade” são as curvas que aparecem quando fixamos um dos parâmetros ( ou ) e variamos o outro. Para isso, vamos encontrar os valores de e que correspondem ao ponto .
Passo 2
Vamos igualar as componentes da função vetor às coordenadas do ponto . Ou seja:
Isso nos mostra diretamente que e .
Passo 3
Agora que temos e , vamos determinar as curvas de grade. Primeiro, a curva de grade quando mantemos v fixo e variamos u. Vamos chamar essa curva de .
Passo 4
Para a curva , fixamos . Substituindo na função vetor:
Essa é a equação parametrizada da curva de grade no ponto P.
Passo 5
Agora, vamos determinar a outra curva de grade, chamada , onde mantemos e variamos v. Substituindo na função vetor:
Essa é a equação parametrizada da curva de grade no ponto P.