Uma partícula percorre a cúbica retorcida r(t) = t i + t^2 j + t^3 k, onde 0 <= t <= 1. Ache o trabalho total realizado, se o movimento foi causado pelo campo de forças F = e^x i + x e^z j + x sen(pi y^2) k. O trabalho é dado em Joules.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula que se move ao longo de uma trajetória definida por , onde t varia de 0 a 1. A força que está agindo nessa partícula é dada por . Nosso objetivo é calcular o trabalho total realizado por essa força durante o movimento da partícula. Para isso, vamos usar o conceito de integração de linha, que envolve calcular o produto escalar entre a força e o deslocamento da partícula ao longo da trajetória.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da posição vec(r)(t) em relação ao tempo t, que é a velocidade da partícula. Vamos calcular :

Passo 3

Agora, substituímos a trajetória vec(r)(t) na força F(x, y, z) para obter :

Passo 4

Em seguida, calculamos o produto escalar entre a força e a velocidade :
Simplificando:

Passo 5

Agora, integramos essa expressão de a para encontrar o trabalho total W:
Vamos resolver cada parte da integral separadamente.
  1. Integral de e^t:
  1. Integral de :
Fazemos a substituição , então ou .
  1. Integral de :
Fazemos a substituição , então ou .

Passo 6

Agora, somamos todas as partes integradas para encontrar o trabalho total W:
Simplificando:
Calculando os valores numéricos:
Somando tudo:

Resposta

O trabalho total realizado é aproximadamente 3,34 Joules.

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