Determine as curvas de nível para as funções
dadas. Represente no plano cartesiano.
Passo 1
Então, a gente tem o exercício de determinar as curvas de nível para a função
e representar isso no plano cartesiano. Isso faz parte do estudo de funções de duas variáveis e das curvas de nível, que são ótimas pra visualizar como a função se comporta em diferentes pontos. Vamos precisar igualar
a uma constante e resolver para uma das variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Pense nelas como “fatia” da função em diferentes alturas. Para cada valor constante
, a curva de nível é onde
. Então, vamos igualar a função a
:
Passo 3
Agora, queremos expressar
em função de
para facilitar a plotagem. Vamos isolar
:
Passo 4
Observando a equação
, vemos que cada curva de nível é uma parábola que abre para baixo, já que o termo
tem um sinal negativo. O valor de
vai determinar a “altura” da parábola no plano cartesiano.
Passo 5
Para representar no plano cartesiano, escolhemos alguns valores de
e plotamos as respectivas parábolas. Por exemplo:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Cada uma dessas curvas será uma parábola deslocada verticalmente de acordo com o valor de
.
Resposta
As curvas de nível para a função
são parábolas da forma
para diferentes valores de
, e elas podem ser representadas no plano cartesiano conforme descrito.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico das seguintes funções
:
b)
b)
(k)
(a)
Esboce o gráfico e determine a imagem e a forma canônica de cada uma das seguintes funções quadráticas, explicitando:
- eixo de simetria;
- coordenadas do vértice;
- intersecção com o eixo
e - intersecções com o eixo
, se houverem.
a)