Determine as curvas de nível para as funções f dadas. Represente no plano cartesiano.
f(x, y) = x^2 + 4y

Passo 1

Então, a gente tem o exercício de determinar as curvas de nível para a função e representar isso no plano cartesiano. Isso faz parte do estudo de funções de duas variáveis e das curvas de nível, que são ótimas pra visualizar como a função se comporta em diferentes pontos. Vamos precisar igualar a uma constante e resolver para uma das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Pense nelas como “fatia” da função em diferentes alturas. Para cada valor constante , a curva de nível é onde . Então, vamos igualar a função a :

Passo 3

Agora, queremos expressar em função de para facilitar a plotagem. Vamos isolar :

Passo 4

Observando a equação , vemos que cada curva de nível é uma parábola que abre para baixo, já que o termo tem um sinal negativo. O valor de vai determinar a “altura” da parábola no plano cartesiano.

Passo 5

Para representar no plano cartesiano, escolhemos alguns valores de e plotamos as respectivas parábolas. Por exemplo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Cada uma dessas curvas será uma parábola deslocada verticalmente de acordo com o valor de .

Resposta

As curvas de nível para a função são parábolas da forma para diferentes valores de , e elas podem ser representadas no plano cartesiano conforme descrito.

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