Esboce o gráfico e determine a imagem e a forma canônica de cada uma das seguintes funções quadráticas, explicitando:
- eixo de simetria;
- coordenadas do vértice;
- intersecção com o eixo
e
- intersecções com o eixo
, se houverem.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a função quadrática
. Nosso objetivo é esboçar o gráfico dessa função e encontrar algumas características importantes:
- Eixo de simetria: Uma linha vertical que divide o gráfico ao meio.
- Coordenadas do vértice: O ponto mais alto ou mais baixo do gráfico.
- Intersecção com o eixo
: Onde o gráfico cruza o eixo vertical. - Intersecções com o eixo
: Onde o gráfico cruza o eixo horizontal.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer a forma canônica da função quadrática, que já está nessa forma
, onde
é o vértice da parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores de
e
na nossa função
. Comparando com a forma canônica, vemos que:
Então, o vértice da parábola é
.
Passo 3
O eixo de simetria é a linha vertical que passa pelo vértice. Como o vértice está em
, o eixo de simetria é a reta:
Passo 4
Para encontrar a intersecção com o eixo
, vamos calcular
:
Então, a função cruza o eixo
no ponto
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar as intersecções com o eixo
, ou seja, os valores de
para os quais
:
Aqui vemos que o lado esquerdo é um quadrado, que sempre é maior ou igual a zero, e o lado direito é negativo. Isso significa que não há soluções reais para essa equação. Portanto, não há intersecções com o eixo
.
Passo 6
Vamos esboçar o gráfico:
- O vértice está em
. - A parábola abre para cima (porque o coeficiente de
é positivo). - O eixo de simetria é a reta
. - A parábola cruza o eixo
em e não corta o eixo .
Resposta
A função
tem:
- Eixo de simetria:
- Vértice:
- Intersecção com o eixo
: - Intersecções com o eixo
: Não existem
O gráfico é uma parábola que abre para cima, com vértice em
, simétrica em relação à reta
, passando pelo ponto
no eixo
e sem cruzar o eixo
.
Exercícios relacionados
(a)
Determine as curvas de nível para as funções
dadas. Represente no plano cartesiano.
(f)
Determine as curvas de nível para as funções
dadas. Represente no plano cartesiano.