Esboce o gráfico e determine a imagem e a forma canônica de cada uma das seguintes funções quadráticas, explicitando:
  • eixo de simetria;
  • coordenadas do vértice;
  • intersecção com o eixo e
  • intersecções com o eixo , se houverem.
    a)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a função quadrática . Nosso objetivo é esboçar o gráfico dessa função e encontrar algumas características importantes:
  • Eixo de simetria: Uma linha vertical que divide o gráfico ao meio.
  • Coordenadas do vértice: O ponto mais alto ou mais baixo do gráfico.
  • Intersecção com o eixo : Onde o gráfico cruza o eixo vertical.
  • Intersecções com o eixo : Onde o gráfico cruza o eixo horizontal.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer a forma canônica da função quadrática, que já está nessa forma , onde é o vértice da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores de e na nossa função . Comparando com a forma canônica, vemos que:
Então, o vértice da parábola é .

Passo 3

O eixo de simetria é a linha vertical que passa pelo vértice. Como o vértice está em , o eixo de simetria é a reta:

Passo 4

Para encontrar a intersecção com o eixo , vamos calcular :
Então, a função cruza o eixo no ponto .

Passo 5

Agora, vamos encontrar as intersecções com o eixo , ou seja, os valores de para os quais :
Aqui vemos que o lado esquerdo é um quadrado, que sempre é maior ou igual a zero, e o lado direito é negativo. Isso significa que não há soluções reais para essa equação. Portanto, não há intersecções com o eixo .

Passo 6

Vamos esboçar o gráfico:
  • O vértice está em .
  • A parábola abre para cima (porque o coeficiente de é positivo).
  • O eixo de simetria é a reta .
  • A parábola cruza o eixo em e não corta o eixo .

Resposta

A função tem:
  • Eixo de simetria:
  • Vértice:
  • Intersecção com o eixo :
  • Intersecções com o eixo : Não existem
O gráfico é uma parábola que abre para cima, com vértice em , simétrica em relação à reta , passando pelo ponto no eixo e sem cruzar o eixo .

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(a)
Determine as curvas de nível para as funções dadas. Represente no plano cartesiano.
(f)
Determine as curvas de nível para as funções dadas. Represente no plano cartesiano.