Determine as curvas de nível para as funções dadas. Represente no plano cartesiano.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar as curvas de nível para a função e representar isso no plano cartesiano. Isso envolve entender um pouco de cálculo, especificamente sobre curvas de nível, que são como “fatias” da função em diferentes alturas. Vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e um pouquinho de álgebra para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de nível. Basicamente, é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante, digamos . Então, para encontrar as curvas de nível, a gente define e resolve essa equação para em termos de .

Passo 3

Aplicando isso à nossa função, temos:
Agora, nosso objetivo é isolar nessa equação para expressar em função de e de .

Passo 4

Para isolar , vamos se livrar do logaritmo. Sabemos que se , então . Aplicando isso na nossa equação:

Passo 5

Agora, basta resolver para :
Então, a curva de nível para um valor específico de é dada por essa equação.

Passo 6

Vamos interpretar o que significa . Essa é a equação de uma parábola com abertura para baixo, já que o coeficiente de é negativo. O termo representa a posição vertical da parábola no plano cartesiano. Quanto maior for , mais acima a parábola estará deslocada.

Passo 7

Para representar graficamente, podemos escolher alguns valores de e desenhar as parabolas correspondentes. Por exemplo:
  • Se , então , e a equação fica .
  • Se , então , e a equação fica .
  • Se , então , e a equação fica .

Resposta

As curvas de nível para a função são parábolas da forma , onde é uma constante. Essas parábolas abrem para baixo e estão posicionadas verticalmente de acordo com o valor de no plano cartesiano.

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(f)
Esboce o gráfico e determine a imagem e a forma canônica de cada uma das seguintes funções quadráticas, explicitando:
  • eixo de simetria;
  • coordenadas do vértice;
  • intersecção com o eixo e
  • intersecções com o eixo , se houverem.
    a)
Esboce o gráfico e determine a imagem e a forma canônica de cada uma das seguintes funções quadráticas, explicitando:
  • eixo de simetria;
  • coordenadas do vértice;
  • intersecção com o eixo e
  • intersecções com o eixo , se houverem.
    f)
Determine as curvas de nível para as funções dadas. Represente no plano cartesiano.