Determine as curvas de nível para as funções
dadas. Represente no plano cartesiano.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar as curvas de nível para a função
e representar isso no plano cartesiano. Isso envolve entender um pouco de cálculo, especificamente sobre curvas de nível, que são como “fatias” da função em diferentes alturas. Vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e um pouquinho de álgebra para chegar lá.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de nível. Basicamente, é o conjunto de pontos
onde a função
assume um valor constante, digamos
. Então, para encontrar as curvas de nível, a gente define
e resolve essa equação para
em termos de
.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função, temos:
Agora, nosso objetivo é isolar
nessa equação para expressar
em função de
e de
.
Passo 4
Para isolar
, vamos se livrar do logaritmo. Sabemos que se
, então
. Aplicando isso na nossa equação:
Passo 5
Agora, basta resolver para
:
Então, a curva de nível para um valor específico de
é dada por essa equação.
Passo 6
Vamos interpretar o que significa
. Essa é a equação de uma parábola com abertura para baixo, já que o coeficiente de
é negativo. O termo
representa a posição vertical da parábola no plano cartesiano. Quanto maior for
, mais acima a parábola estará deslocada.
Passo 7
Para representar graficamente, podemos escolher alguns valores de
e desenhar as parabolas correspondentes. Por exemplo:
- Se
, então , e a equação fica . - Se
, então , e a equação fica . - Se
, então , e a equação fica .
Resposta
As curvas de nível para a função
são parábolas da forma
, onde
é uma constante. Essas parábolas abrem para baixo e estão posicionadas verticalmente de acordo com o valor de
no plano cartesiano.
Exercícios relacionados
(f)
Esboce o gráfico e determine a imagem e a forma canônica de cada uma das seguintes funções quadráticas, explicitando:
- eixo de simetria;
- coordenadas do vértice;
- intersecção com o eixo
e - intersecções com o eixo
, se houverem.
a)
Esboce o gráfico e determine a imagem e a forma canônica de cada uma das seguintes funções quadráticas, explicitando:
- eixo de simetria;
- coordenadas do vértice;
- intersecção com o eixo
e - intersecções com o eixo
, se houverem.
f)
Determine as curvas de nível para as funções
dadas. Represente no plano cartesiano.